Гидравлика - пособие по задачам

‘Рис. 2.!. Силы гидростатического давления

Формула (2.2) справедлива для плоских стенок (рис. 2.1,а): вер­ тикальных. наклонных и горизонтальных. В частности, сила избыточного гидростатического давления на горизонтальное днище резервуара равна;

где Н - глубина наполнения резервуара жидкостью . Сравнивая силы давления Рд,, для близко расположенных

(g = const) сосудов различной формы, но при одинаковом наполнении Н одной и той ж е жидкостью (р = const) и одинаковых площадях днищ S „„ можно установить гидростатический парадокс: сила гидро­ статического давления жидкости на днищ е не зависит от величин веса жидкости в сосудах.

Точка приложения силы гидростатического давления Р называ­ ется « и е т р о м давления», местоположение которого, как правило, совпадает с местоположением центра тяжести смоченной площади стенки.

Для стенок, симметричных относительно вертикальной оси (рис. 2.1. б), центр давления располагается на оси симметрии на глубине

где a - угол наклона стенки к горизонту (рис. 2.1, а):

100центральный момент инерции смоченной площади стенки.

Для трапеции с основаниями Ь,с и высотой Н величина силы

а itoi-ружение центра давления

квадрата (Ь = с = Н), прямоугольника или параллелограмма (Ь=с) и

Ьсли сосуд закрыт в атмосферу (рис. 1.1). а избыточное давле­ ние на свободной поверхности ж идкости в нём ро™ , то в формулу (2.2) вместо hILT необходимо вводить расчетную высоту:

При этом Ьрасч можно представить как глубину погружения цен­ тра тяж ести смоченной стенки, но отсчиты ваемую от нового уровня, появивш егося в связи с наличием избыточного давления р0„зб на сво­ бодной поверхности жидкости.

Ц ентр давления h^j в этом случае м ож но определить как точку приложения равнодействую щ ей двух составляю щ их сил избыточного

Следует отметить, что расчетные соотнош ения (2.1) - (2.8) справедливы для случаев, отвечаю щ их рис. 2.1: сосуд (резервуар) от­ крыт в атмосферу, а площадь смоченной поверхности начинается от линии уреза (т.е. линии пересечения внутренней поверхности стенки

21

со свободной поверхностью жидкости). Последнее подразумевается и при использовании формул (2.9) - (2.15), но для случая, когда сосуд закрыт в атмосферу.

На практике зачастую приходится иметь дело с избыточными давлениями p,Jh)6, во много раз превыш аю щ ими величину весового давления pgh, т.е. давления, создаваемого столбом покоящейся ж ид­ кости. В этих случаях при вычислении величины силы избыточного гидростатического давления по формуле (2.10) первым слагаемым в скобках можно пренебречь:

будет практически совпадать с центром тяж ести смоченной стенки (hul = h,lT).

Формулы (2.9) - (2.15) можно использовать и в случае, если ре­ зервуар открыт в ат мосферу, когда по условию задачи рассматривает­ ся стенка (затвор, щит), погруженная под свободную поверхность жидкости.

П рим ер 2.1. Определить силу давления воды на дно резервуара и силу, действующ ую на опоры (рис. 2.1, а). Собственный вес резер­ вуара G = 12 кН, его геометрические размеры а ~ Ь = с = 1 м; Н = (2 ч ) м, а = 90°, 5=0.

Р еш ение

Избыточное давление на днищ е резервуара

р„й = PgH = 1000*9,81(2+0) = 19620 Па.

Сила давления на днище

Р.и. T W S . * , - 19620*1 М -1 9.62 кН.

Сила давления жидкости на днищ е резервуара является внут­ ренней силой; она не передается на опоры, на которых установлен ре- ?срн\ар. Опоры же воспринимаю т вес резервуара и вес воды:

R*,,, G + G* G -1- pgbcH;

Ко,, = 1,2*I О4 - 10 3*9,81 • 1 • 1 *2 - 3 1 ,6 2 кН .

П рим ер 2.2. Квадратное отверстие со стороной h - ! \1 в вергиKa.ii.HOii стенке резервуара закрыто плоским щитом ( рис. 2.2.). Щ ит (акрывастсч грузом массой m на плече х " 1,3+ 0.1 i -•= 1,3- 0.1 *5 = =

22

1,8 м. О пределить величину массы груза, необходимую для удерж а­

ить эпю ру избыточного гидростатического давления на щит.

Рис. 2.2. Определение величины массы груза, необходимой для удержания глубины воды в резервуаре

Р еш ение

Построим эпю ру избыточного гидростатического давления, действую щ его на щит. Д авление на смоченной поверхности распре­ деляется по линейному закону в зависимости от глубины погружения z точки пол уровень свободной поверхности. Избыточное давление на верхнем краю щ ита будет равно:

p , = p g (H -h ),

на нижнем краю шита:

P2 = PgH,

в произвольной точке щита на глубине z

Р = Pgz-

Здесь р -- плотность воды; р - 1000 кг'м°; a g - ускорение свободного падения; g = 9,81 м/с".

Имеем величины:

р, = 1000*9,81(2,9 - 1 ) = 18,6 кПа;

р: = 1000*9,81*2,9 = 28,4 кПа.

Этих данных д о с р о ч н о для посгроения 'эпюры давления, дей­ ствующ его на щит, которая показана на рисунке 2.3..

о

p1■, _ /*—

/( ___t

""1)

i г

Рис. 2 .3.Построение эпю ры давления, действую щ его н а щит

Из эпюры видно, что на щ ит действует как равномерно распре­ деленное избыточное давление

P i Р избравк *

так и неравномерно распределенное, возрастаю щ ее с глубиной (вниз по щиту) по линейном у закону

Р2 = pgz,

где z изменяется в пределах от нуля до h.

Л , следовательно, результирую щ ую силу давления мож но рас­ сматривать как сумму двух составляю щ их сил давления Р]И Р2. Пер­ вая из них обусловлена действием давления р ,. Она приложена в цен­ тре тяжести щита на удалении от линии с - с’ (см. рисунок 2.2):

Вторая же сила Р; приложена в центре давления D смоченной поверхности щ ита ниже его центра масс по вертикали на удалении от верхней кромки квадратного щ ита - см. формулу (2.6):

Ь,.л= 1(3*1 +1)/[2(2*1+1)1= 4/6 - 0,66 м,

на расстоянии

h = а+ hu п = 0,75 +0,66 = 1,42 м

от линии с-с'. Эта сила равна:

P2 = PghUTSul= 103* 9,81* 0,5* ]•! = 4,9 кН.

М ассу 1р у за т , необходимую для удержания глубины воды в ре­ зервуаре, найдем из уравнения моментов сил относительно точки О:

mgx = P i* !, + Рг* Ь.

Разрешая данное уравнение относительно т , получаем

П1" (Pi* Ь + Р2* l2) / (gx).

Тогда с учетом полученных выше числовых значений величин имеем массу т , равную

крышек гидроцилиндра диаметром D = (140+5i) мм, если к плунжеру диаметром d = (30+2i) мм приложена сила

Г = (400+20i) Н ( рис. 2.4.)

И сходные данные: i = 6, □ = (140+5*6) = 170 мм, d = (30-2*6) = 42 мм,

F - (400+20*6) - 520 И.

- -t___________ __________ -

Рнс. 2.4. Определение нагрузки на болты крышек гидроцилиндра, если к плунжеру приложена сила

Р еш ение

Избыточное давление, создаваемое силой F в гидроцилиндре, найдем по формуле:

левую крышку действует сила избыточного давления

F ! - pjiD2/4 = F(D/d)2,

а на правую крыш ку - сила:

F2 - pTt(D2 - d2)/4 - F[(D/d)2—1].

25

На болты левой крышки действует сила величиной

Fi = 520(170/42)2 = 8519,ЗН.

На болты правой крышки действует сила величиной

F:= 520[( 170/42)2 - 1] = 7999,ЗН.

Прим ер 2.4. О пределить давление в гидросистеме, заполненной

минеральным маслом (р = 850 кг/м3) и массу груза ш, леж ащ его на больш ем поршне, если для его подъёма приложена сила F = (180 + 10i) Н к меньшему поршню (рис.2.5.).

E l

Реш ение

Так как скорость подъёма груза в условиях задачи не указана, будем искать силу F из условия, что система находится в равновесии.

Избыточное давление р, Па, создаваемое верхним (больш им)

Силу избыточного гидростатического давления ж идкости на

где S| - площадь малого поршня, м2, определяемая по соотнош ению

26

груза, леж ащ его на больш ем поршне:

т - p*ir*D2/(4g) = 2,6* 1 0 5 3,14*0,172/(4*9,81 )= 601,2 кг

П рим ер 2.5. П редохранительны й клапан диф ференциального типа (рис. 2.7.), предназначенны й для защиты насоса от перегрузки, начинает открываться (для пропуска жидкости в бак) при избыточном давлении pi ~ (1,5 - 0,55) М П а. Диаметры клапана D = (30 i 0.5i) мм и поршня d ~ (15 + 0,5i) мм. Д авление р2 справа от больш ого и слева от меньшего порш ней равно атмосферному. О пределить величину 1 предварительного сж атия пружины, если её ж ёсткость с = 50 Н/мм, Силами трения пренебречь.

о*пнасоса

Рис. 2.7

Исходные данные при i = 1: р, = (1.5 + 0,5*1) = 2,0 МПа, D = (30 + 0,5*1) = 30,5 мм d = (15 + 0,5* 1) = 15,5 мм

Р еш ение

Для клапана, находящегося в состоянии покоя, справедливо ра­ венство сил:

Последнее равенство позволяет получить расчётную формулу для определения величины предварительного сжатия пружины:

По условию задачи

р, =2*10(' Па; D - 0,0305 м; d - 0,0155 м и с = 5*104 Н/м.

По формуле (2.5.5) вычисляем величину предварительного сж а­ тия пружины:

I = 2*106»3.14(0,03052 - 0,01552)/(4*5*104) = 2,16*10-2 м.

1.3.Гидравлический расчёт трубопроводов

Основны ми уравнениями при расчёте трубопроводов являются уравнение Бернулли для потока несжимаемой вязкой жидкости, урав­

нение расхода, соотнош ение для определения полных потерь напора, ф орм ула Д арси - Вейсбаха, формула Вейсбаха.

ной механической энергии потока, падение давления. При использо­ вании формулы (3.1) средню ю скорость в сечениях потока (с) обычно измеряю т в сечении трубопровода до м естного сопротивления (вен ­ тиля, фильтра, задвиж ки, дроссельной ш айбы и т.д.).

Величины коэффициента м естного сопротивления <;„ зависят от вида и формы местного сопротивления, состояния поверхностей, ус­ ловий входа, а такж е от числа Рейнольдса Re, вычисляемого как

Для больш инства местных сопротивлений при развитых турбу ­ лентных потоках (Re > 105) коэффициент £, не зависит от числа Рей­ нольдса и

q = ^M = const,

где £кр - коэффициент местного сопротивления в квадратичной области сопротивления (где hM— с2).

При малых числах Рейнольдса R e (ламинарны е потоки) коэф­ фициент £, является функцией от данного числа:

29

Как показали результаты экспериментальных исследований, ве­ личины коэффициентов гидравлического трения X в общ ем случае за­ висят от числа Рейнольдса Re и относительной эквивалентной ш еро­ ховатости

жаемая ш ероховатость, которая обеспечивает те же потери напора на ф ение в трубах, что и реальная, неравномерная ш ероховатость. Её величины малы: она определяется опытным путём.

При гидравлических расчётах величины коэффициентов гидрав­ лического трения ). в основном определяю т по формулам, получен­ ным на основе обобщения опытных данны х. Отдельные из них при­ ведены в таблице 3.1.

30

п- число м естных сопротивлений.

4.К числу основных уравнений инженерной гидравлики отно­ сится уравнение расхода (уравнение неразрывности в форме Леонарда да Винчи):

где О - объёмный расход жидкости, M J / C ;

с-- средняя (по сечению ) скорость потока жидкости, м/с, определяемая по формуле (3.2);

F - площ адь (поперечного) сечения потока жидкости, м:.

У равнение (3.9) применимо как для жидкостей, так и для газов при условии, что их плотность постоянна (р = const), а течение уста­

Д анное уравнение математически выражает один из фундам ен­ тальных законов физики: закон сохранения массы вещ ества, откры ­ тый М .В. Ломоносовым.

5.В одной из форм записи уравнение Бернулли для потока

несжимаемой вязкой жидкости им еет вид:

z i + pi/(pg) + a,C]/(2g) = z2 + p2/(pg) + a 2c2/(2g) + hL1_ 2, (3.11)

а- коэффициент кинетической энергии (коэффициент Кариолиса; для ламинарного реж има a = 2, для турбулентного a = 1);

с - средняя (по сечснию ) скорость жидкости, м/с;

hv,. ; - полные потери напора на участке между сечениями

3.10. соотносят изменяемые (в тех или иных условиях течения) пара­ метры к соответствующ им сечениям напорного потока ж идкости; се­ чение потока 2 —2 выбирается ниже по течению .

У равнение Бернулли (3.11) математически вы раж ает фундам ен­ тальный закон природы: закон сохранения и превращ ения энергии. Заметим здесь, что словосочетание «потери напора» исторически

слож ивш ееся. В записи вида (3.11) с энергетической точки зрения оно означает, что при движении ж идкости от сечения 1 - 1 до сечения 2 2 часть полной механической энергии (рассчитанной на единицу веса

раскры вает взаимосвязь между параметрами одномерны х установив­ ш ихся массо - и энергоизолированных напорных потоков вязкой не­ сж имаемой жидкости.

Заметим, что трубопровод считается напорным (и поток напор­ ным), если он работает полным диаметром . В этом случае площ адь сечения потока вычисляется по формуле:

где d - внутренний диам етр трубопровода.

П ри решении задач с применением уравнения Бернулли полезно руководствоваться следую щ ими указаниями:

- уравнение Бернулли составляется для двух сечений, которы е долж ­ ны располагаться на прямолинейных участках трубы; - одно из сечений следует брать там , где требуется определить или р,

или с, или z; другое сечение там, где эти параметры известны;

-нумеровать сечения следует так, чтобы ж идкость двигалась от пер­ вого сечения ко второму сечению ; иначе знак потерь напора должен бы ть изменён на обратный;

-горизонтальную условную плоскость сравнения (г = 0) желательно совмещ ать с центром масс того из двух расчётных сечений, которое располож ено ниже:

-последний член уравнения (Иц - 2) долж ен учитывать все потери на­ пора между расчётными ссчсниями.

Рис. 3.1

Р еш ение

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока несжи­ маемой вязкой жидкости: выходного сечения насоса (вход в трубу) и выходного сечения трубопровода:

Ризо2 —избыточное давление на выходе из трубопровода, Па; р - плотное! ь воды, кг/м3;

g - ускорение свободного падения, м/с2;

с - скорость течения воды в трубопроводе, м/с; h - геометрическая высота подъёма воды, м;

hT„ - потери напора на трение по длине трубопровода, м; h.„ - потери напора на i м местном сопротивлении, м.

Разрешим с учётом соотнош ений (3.1) и (3.5) уравнение Бернул­ ли относительно искомого избыточного давления ри]5 . Имеем:

и

Здесь в согласии с уравнением расхода (3.10) учтено, что в тру­ бах постоянного внутреннего диаметра d площ ади сечений потока жидкости равны

F, = F2,

а следовательно, равны и средние скорости ж идкости в данных сече­ ниях:

Ci = с: = с,

и числа Рейнольдса

Rei = Re2,

Д, = 0,3 мм. Н аходим предельные числа Рейнольдса: Re,ip.] = 20d/A, - 20*50/0,3 - 3330;

R e[ip2 = 500d/A, = 500*50/0,3 = 83330; П оскольку выполняется условие

Re = 100440> 83330,

то область сопротивления является квадратичной.

Величину коэффициента гидравлического трения находим по формуле Ш ифринсона:

X = 0,11 (Д^/d)025 = 0,1 1(0,3/50)02S = 0,030. После подстановки численных значений величин Р>«6.1 = 1.5*105 Па; р = 10^ кг/м3; g = 9,81 м/с2; h = 12 м;

=3,52*105 Па

Прим ер 3.2. Из резервуара А минеральное масло выливается в резервуар В по стальной трубе диам етром d = 20 мм, в конце которой имеется пробковый кран (рис. 3.2). Определить, за какое время запол­

нится резервуар В объёмом W = (10 + 2i) л, если Н = (1,2 +0,2i) м, высота выступов.ш ероховатости Д = 0,1 мм, плотность масла рм - 890 кг/м3, кинематический коэффициент вязкости v = 50 сСт, кран полно­ стью открыт. Длина трубы 1 = 10 м.

Исходные данны е при i = 3: Н = 1,2 + 0,2*3 - 1,8 м: W = 10 + 2*3= 16л.

Р еш ение

Получим формулу для определения средней скорости.

Запишем уравнение Бернулли для двух сечений потока несжи­ маемой вязкой жидкости. П ервое сечение выбираем по уровню сво­ бодной поверхности жидкости в резервуаре А, а второе -- по выход­ ному сечению струи, которое совместим о с условной плоскостью сравнения. Имеем:

gZ t - p i/p + CtiCi2'2 = gZ 2 + p 2/p - Cl22C22/2 + h si ..

где Z2 - удаление выходного сечения 2-2 трубы от условной плоскости сравнения 0-0, м;

р. и р2 - абсолю тные давления в выбранных сечениях, Па; а, - коэффициент Кариолиса; с, - средняя (по сечению) скорость, м/с; р - плотность жидкости, кг/м ;

g - ускорение свободного падения, м/с". По условию задачи

z\ • - Z2 - Н; cj = 0, pi = р; = рат;

С2 - Ci ~ const (по сечениям потока в трубе).

Тогда с учётом формулы Д арси - В ейсбаха и формулы Вейсбаха в предположении, что справедлив принцип наложения потерь, урав­ нение Бернулли запишется в виде:

gH - с2 * (иг + >. h'd + £<i4j)/2, i =l

где n - число местных сопротивлений.

Т огда средню ю скорость с ж идкости можно найти по соотнош е­

нию:

с= [2gH /(a3 1 - X Vd ^Lc,„,)]c' 5.

Поскольку здесь коэффициент гидравлическою трения к нам неизвестен, а он однозначно зависит от области гидравлического со ­ противления движения жидкости в трубе, а, следовательно, и от числа Рейнольдса Re, и от средней скорости с, то задачу будем реш ать ме­

тодом последовательных приближений.

Вначале полагаем, что режим сопротивления движению ж идко­ сти квадратичный. Тогда величину коэффициента гидравлического трения можно найти по формуле Ш ифринсона:

37

A,0> = 0 ,1 KAa/d)025.

После подстановки численных значений величин имеем:

Х(" = 0 ,1 1 (0 ,1/20)°'25 = 0,052.

Численные значения коэффициентов местных сопротивлений по

-пробкового крана ^ = 0;

-колена ^кол „ = 0,19.

Полагая, что коэффициент кинетической энергии а ; = I, а длина трубы / = 10 м, имеем:

с(|) - [2-9,81*1,8/(1 +0,052*10/0,02 + 0 ,5 + 0,19)]05 = 1,13 м/с. Вычисляем величину числа Рейнольдса

R eni = ca)d/v,

где v - кинематический коэффициент вязкости, м2/с. Таким образом:

Re(l> = 1,13*0,02/(50* 10 ’ 6) = 452.

Поскольку величина числа Рейнольдса Re(,) - 452 меньше его нижнего критического числа R e ^ = 2320, то режим движения можно

считать ламинарным, где коэффициент гидравлического трения опре­ деляется как

>.t2) = 6 4 /R e"1.

Получаем:

\ (2>= 6 4 /4 5 2 = 0,14

при величине коэффициента

0-2 - 2.

Величину коэффициента сопротивления поворота трубы на 90° находим по формуле Альтшуля:

кол—A/Re* 1 + I~ ,оя

|д е А - коэффициент, который зависит от вида местного сопротивления.

При А -- 600 [131 и £.ол .г имеем:

Ьо:, = 600/452 + 0.19 = 1,52.

11ахолим среднюю скорость с121 во втором приближении:

с'21 = [2*9,81*1,8/(2 + 0,14*10/0,02 + 0,5 + l,5 2 ) f 5 - 0,69 м/с.

Тогда в третьем приближении:

R c(3) = 0.69*0,02/(50*10 ь) = 276; А.(3) = 64/276 = 0,23;

£„0., = 600/276 * 0,19 “ 2,36;

4кол = 600/192 + 0,19 - 3,32; с(5) = 12*9,81*1,8/(2 + 0,33*10/0,02 + 0,5 + 3,32)]°5 = 0,45 м/с.

П оскольку выполняется условие

[(сМ) • с(5,)/с(5>]*100% - [(0,48 - 0,45)/0.45j*100% = 6% < 10%,

то величину средней скорости жидкости в трубе принимаем равной с = 0,45 м/с.

! Гаходим площ адь сечения потока:

F = 7td2/4 = 3.14*0,022/4 = 3 ,1 4 * 1 0 '“ м2 и объёмный расход жидкости:

Q = cF = 0,45*3,14*10 ‘ 4 = 1,41*10 "* м3/с. Вычисляем искомое время наполнения резервуара В:

t - W /Q = 16*10 ' 3/(1,41*10 “) = 113 с = 1,9 мин.

П ри м ер З.Э. Из закрытого вместительного резервуара А с мано­

метрическим давлением на поверхности р„ = (300 + 10i) м вода пода­ ётся в открытый вместительный резервуар В на высоту Н = (5 + 2i) м (рис.3.3). Трубопровод стальной новый длиной / = (14 >■2i) м и диа­ метром d = 75 мм. Коэффициент гидравлического трения к ~ 0.03. О пределить объёмны й расход Q при полностью открытой задвиж ке и температуре воды t° = 20°С.

И сходные данны е при i = 0: р„ = (300 >- 10*0) = 300 кПа,