THEME5

Уравнения прямых регрессии запишутся в виде

yx -1,67 = 4,5(x - 0,15) ; xy - 0,15 = 0,2( y -1,67).

Если наблюдений произведено много, то данные можно сгруппировать и

записать в виде корреляционной таблицы

Таблицу преобразуем, заменив частоты относительными частотами:

По данному эмпирическому двумерному распределению находим коэф- фициент корреляции так же, как в примере 5.5.

179

Пример 5.6. По корреляционной таблице найти выборочный коэффици- ент линейной корреляции и оба уравнения регрессии (табл.1).

Решение. Перепишем заданную таблицу, разделив частоту на n=100 (табл.2).

Находим числовые характеристики и уравнения прямых регрессии: x =10×0,08 + 20 ×0,08 + 30 ×0,5 + 40×0,2 + 50×0,14 = 32,4;

x2 =100 × 0,08 + 400 × 0,08 + 900 × 0,5 +1600 × 0,2 + 2500 ×0,14 =1160; Sx2 =1160 - (32,4)2 =110,24 ; Sx =10,5 ;

y =1×0,02 + 2 ×0,1+ 3×0,13 + 4×0,5 + 5×0,22 + 6×0,03 = 3,89 ;

180

xy =10 ×1×0,02 +10× 2×0,06 + 20×2 ×0,04 + 20×3×0,04 + 30×3×0,07 +

+30 ×4×0,35 + 30×5×0,08 + 40×3×0,02 + 40×4 ×0,1+ 40 ×5×0,08 +

+50 ×4×0,05 + 50×5×0,06 + 50×6×0,03 =134,1 ;

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Какую величину выборочного коэффициента корреляции следует счи- тать достаточной для статистически обоснованного вывода о наличии корре- ляции между исследуемыми переменными? Ведь надежность статистических

характеристик, в том числе и rxyB , ослабевает с уменьшением объема соответ-

ствующей выборки, а потому принципиально возможны случаи, когда откло-

нение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции rxyB оказывается статистически незначимым, т.е. целиком обусловленным

неизбежными случайными колебаниями выборки, на основании которой он вычислен. Ответ на поставленный вопрос связан с проверкой статистических гипотез.

Пусть на основании материала выборки следует проверить гипотезу H0, называемую основной, или нулевой.

Статистическая гипотеза H0 может быть, например, гипотезой о равен- стве определенных параметров распределения, о равенстве законов распреде- ления, о некоррелированности двух случайных величин и пр. Гипотеза, про- тивоположная H0, называется конкурирующей, или альтернативной, и обо- значается H1.

Правило, устанавливающее условия, при которых проверяемая гипотеза H0 принимается или отвергается (принимается альтернативная гипотеза

H1¹H0), называется статистическим критерием.

Критерий содержит контрольную величину T, которой является соответ- ствующим образом выбранная и приспособленная к задаче функция выборки, и точное или приближенное распределение которой известно. По заданному

181

уровню надежности α определяется область W, так называемая критическая область, удовлетворяющая условию

P(T W| если H0 верна)≤ α.

При выборе критической области следует иметь в виду, что принимая или отвергая гипотезу, можно допустить ошибки двух видов, как это видно из следующей таблицы:

Вероятность α допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости критерия. Чем меньше уровень значимости, тем меньше веро- ятность опровергнуть верную гипотезу. Обычно α полагают равным 0,05 или 0,01 (5%-ный или 1%-ный уровень значимости).

Ошибочное решение, когда гипотеза H0 не отвергается, хотя она непра- вильна, называют ошибкой II рода. Вероятность недопущения ошибки II рода 1–P(B) называется мощностью критерия. Таким образом, критическая об- ласть удовлетворяет требованиям: 1) P(A)=α; 2) мощность критерия (1–P(B)) по возможности максимальна.

Метод проверки статистической гипотезы состоит в следующем: произ- водится выборка. Она дает частное (наблюдаемое) значение t контрольной величины T. Из специальных таблиц находят критические значения tкр. Если t>tкр (T W), т.е. если происходит событие, имеющее очень малую вероят- ность α, то от гипотезы H0 отказываются.

Если t<tкр (T W), то можно заключить, что данные наблюдения не про- тиворечат принятой гипотезе и гипотеза H0 принимается.

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (X,Y) распределена нор- мально. Из этой совокупности извлечена выборка объема n, и по ней найден

выборочный коэффициент rxyB , который оказался отличным от нуля. Так как

182

выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент кор- реляции генеральной совокупности rxy также отличен от нуля.

Выдвигается нулевая гипотеза H0:rxy=0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе H1:rxy¹0.

В качестве критерия проверки H0 принимается случайная контрольная

величина

которая при условии rxy=0 распределена по закону Стьюдента с n–2 степеня- ми свободы.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным выборки через tнабл. По таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k=n–2 находим критическую точку tкр(a,k) для двусторонней критической области.

Критические точки двусторонней критической области находят, исходя из требования, чтобы при справедливости H0 сумма вероятностей того, что критерий примет значение меньше "левой" критической точки tлев.кр или больше "правой" критической точки tправ.кр, была равна уровню значимости:

P(T<tлев.кр)+P(T>tпр.кр)=a.

Если распределение симметрично относительно нуля (таковым является распределение Стьюдента), то P(T>tкр)=a/2.

Итак, если tнабл<tкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если tнабл>tкр – нулевую гипотезу отвергают.

Пример 5.7. Предполагая, что X и Y в примере 5.6 распределены нор- мально, проверить достоверность выборочного коэффициента корреляции rxyB или значимость их взаимосвязи при уровне значимости a=0,05.

Решение. По выборке n=100 найдем rxyB =0,75.

Найдем наблюдаемое значение критерия

tнабл= 075, 100 − 2 =11,2.

1 − (075, )2

По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k=100–2=98 на- ходим по необходимой таблице для двусторонней критической области кри-

тическую точку tкр (0,05;98)=1,98.

183

Поскольку tнабл>tкр, нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, rxyB значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированы.