сопромат2

Для определения кососимметричных силовых факторов X1 и X 2 записываем канонические уравнения:

δ11 X1 + δ12 X 2 + 1P = 0,

δ21 X1 +δ22 X 2 + D2P = 0.

Строим эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки (грузовую эпюру) (рис.7.41) и эпюры моментов от сил равных единице, приложенных вместо X1 и X 2 (рис.7.42 и 7.43).

Способом Верещагина вычисляем коэффициенты канонических уравнений:

Подставив в канонические уравнения значения коэффициентов получим систему уравнений для определения реакций отброшенных связей X1 и X 2 :

21

7.33Рис.7.45 7.33

Проведем деформационную проверку, определив методом Верещагина

Ближайший больший момент сопротивления у двутавра №10, имеющего следующие характеристики сечения:

Wx = 39.7см3 , J x = 3460см4 .

22

Рис.7.46

25

Рис. 7.47.

26

противоположных сторонах сечения. Вектор полного напряжения на каждой

грани можно разложить на нормальное и два касательных напряжения по координатным осям (рис.8.2). Например, на грани, перпендикулярной оси x, этими составляющими являются нормальное напряжение σ x и касательные

напряжения τ xy и τ xz . Индекс у нормального напряжения и первый индекс у

касательных указывает на ось нормальную к площадке, на которой напряжения действуют. Второй индекс у касательных напряжений означает ось, параллельно которой они направлены. Нормальное растягивающее напряжение считается положительным, а сжимающее - отрицательным. На площадке, внешняя нормаль к которой направлена в положительном направлении соответствующей оси, касательное напряжение считается положительным, если оно также направлено в положительном направлении соответствующей оси. На рис.8.2 все напряжения положительны.

8.2. Закон парности касательных напряжений

Под действием сил, распределенных по граням, элемент находится в равновесии. Уравнения проекций сил на оси координат удовлетворяются тождественно, так как силы на противоположных гранях равны и противоположны по направлению.

Составим уравнение моментов сил, действующих на элемент, относительно оси z1, проведенной через центры горизонтальных граней (рис.8.2). Для этого

нужно равнодействующие касательных напряжений 2τ xy dydz и 2τ yxdxdz ,

действующих на вертикальных гранях, умножить на dx2 и dy2 - расстояния от

центров этих граней до указанной оси z1 : 2τ xy dydz × dx2 - 2τ yx dxdz × dy2 = 0.

Из этого равенства получим τ xy = τ yx . Точно так же можно получить два аналогичных равенства из уравнений моментов сил относительно осей x1 и y1 (рис.8.2). В результате будем иметь следующие три соотношения:

Эти равенства выражают закон парности касательных напряжений,

согласно которому касательные напряжения, действующие на двух взаимно - перпендикулярных площадках, равны по величине и направлены либо к линии пересечения этих площадок, либо от этой линии.

Таким образом, учитывая закон парности касательных напряжений,

28

которая называется тензором напряжений. Тензор напряжений полностью определяет напряжённое состояние в точке. Это означает, что, зная тензор напряжений в точке, можно определить напряжение на любой наклонной площадке, проходящей через данную точку.

Известно понятие вектора, как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой тензор. Тензору напряжений в отличие от вектора нельзя дать простое геометрическое толкование.

8.3. Главные площадки и главные напряжения. Виды напряжённого состояния

В теории упругости доказывается, что в любой точке нагруженного тела всегда существуют три взаимно – перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными

площадками, а действующие на них нормальные напряжения – главными напряжениями. Главные напряжения обозначаются как σ1 ,σ 2 ,σ 3 . При этом σ1

Поэтому очень важно при оценке прочности в рассматриваемой точке знать именно величину главных напряжений и вид напряженного состояния. Существует три основных вида напряженного состояния: трёхосное или объёмное, при котором все три главных напряжения отличны от нуля (рис.8.3); двухосное или плоское (рис.8.4), при котором одно главное напряжение равно нулю; и одноосное или линейное (рис.8.5), при котором два главных напряжения равны нулю.

29

8.4. Линейное напряжённое состояние

Линейное напряженное состояние возникает, например, при растяжении или сжатии. В поперечном сечении действуют, как было показано ранее, экстремальные или главные напряжения σ1 при растяжении или σ 3 при сжатии,

равные σ = NF . Напряженное состояние в точке поперечного сечения определяется выражениями:

σα = σ × Cos2α ,

τα = 12σ × Sin2α ,

позволяющими вычислять напряжения на любой наклонённой под углом α к поперечному сечению площадке.

8.5. Плоское напряжённое состояние

Плоское напряженное состояние возникает при кручении, поперечном изгибе, в тонкостенных оболочках.

Выделим в окрестности точки, находящейся в плоском напряженном состоянии, элементарную призму (рис.8.5), совместим грань, свободную от напряжений, с плоскостью листа (рис.8.6) и определим напряжения на грани, наклонённой под угломα к вертикальной площадке (рис. 8.6), считая, что

Составим уравнение проекций сил на нормаль n к наклонной площадке.

σ X1 dF -σ x dF cos2 α -σ y dF sin 2 α +τ x dF cosα sinα +τ y dF sinα cosα = 0

30