сопромат2

Решая систему уравнений, получаем

X1 = −5.45кНм , а X 2 = −7.27кНм .

Знак минус у полученных значений реакций отброшенных связей означает,

что их действительное направление противоположно предварительно выбранному направлению.

6.Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для эквивалентной системы (рис.7.15).

Для деформационной проверки рекомендуется определять перемещение в направлении отброшенной связи основной системы, которая не использовалась при раскрытии статической неопределимости. Поэтому определим вертикальное перемещении сечения В для основной системы рис.7.12с. В сечение В этой

основной системы приложим единичную силу и построим единичную эпюру изгибающих моментов (рис.7.16с). Затем способом Верещагина определим искомое перемещение, перемножив площади грузовой эпюры на ординаты единичной под центрами тяжести площадей грузовой эпюры (рис.7.16).

11

7.3.Пример расчета статически неопределимой рамы.

Раскрыть статическую неопределимость рамы (рис.7.18), построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, сделать деформационную проверку, подобрать сечение двутавра, если R=210МПа.

1м

q =10 кНм 2м

1м

P =10кН

Рис.7.18

1)Определяем степень статической неопределимости

S= 3K - Ш ,

К= 2 (1-й контур образован стержнями рамы и землей, 2-й –стержнями неподвижной опоры и землей),

Ш= 4(шарнир, соединяющий опорные стержни и стержень рамы двойной). Таким образом S = 3× 2 - 4 = 2 степень статической неопределимости рамы

равна двум.

Рис.7.19

2) Из возможных вариантов основных систем, представленных на рис.7.19, выбираем для решения последнюю, как наиболее рациональную (в ней нет необходимости определять реакции в заделке при построении эпюр).

14

3)Изображаем эквивалентную систему (рис.7.20)

4)Записываем канонические уравнения (7.5), как условие эквивалентности исходной статически неопределимой рамы (рис.7.16) и полученной после

приложения к основной системе нагрузки и реакций отброшенных связей эквивалентной системы (рис.7.20)

δ11 X1 + δ12 X 2 + 1P = 0

свободных членов iP способом Верещагина строим эпюру моментов от нагрузки

в основной системе (грузовую эпюру) и эпюры моментов в основной системе от сил равных единице, приложенных вместо X j (единичных эпюр) (рис.7.22, 7.23,

7.24).

15

6)Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в эквивалентной системе (рис.7.26 и 7.27) от действующих сил и реакций отброшенных связей.

7)Выполняем деформационную проверку, которая состоит в определении перемещений в направлении отброшенных связей в эквивалентной системе. Если

реакции были найдены правильно, то эти перемещения должны быть равны нулю.

16

Вычисляем перемещения способом Верещагина, используя для этого эпюру рис.7.27 и эпюры от единичных сил, приложенных вместо отброшенных связей

+12 ×1.44 ×1× 2 - 12 ×9.44 ×1× 2) = 0

8)Подбираем двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям:

7.4. Использование свойств симметрии стержневой системы и нагрузки при решении статически неопределимых систем

Если стержневая система симметрична, то для раскрытия её статической неопределимости основную систему рекомендуется выбирать симметричной. В этом случае часть коэффициентов и свободных членов

канонических уравнений оказываются равными нулю и решение задачи упрощается. Покажем справедливость рекомендаций на нескольких примерах.

1.Симметричная рама загружена симметричной нагрузкой (рис.7.28).

Выбираем симметричную основную систему (рис.7.29). Изображаем эквивалентную систему (рис.7.30).

17

Для определения коэффициентов и свободных членов уравнений строим грузовую и единичные эпюры (рис.8.2.4-8.2.7).

Заметим, что от симметричной нагрузки эпюры моментов тоже симметричные (рис.7.31,7.33,7.34), а от кососимметричной (антисимметричной) нагрузки эпюры кососимметричные (рис.7.32). При определении, к примеру, 1P

способом Верещагина будем перемножать площади грузовой симметричной эпюры на единичные моменты под центрами тяжести этих площадей кососимметричной эпюры от X1 =1 т.е.

D1P = EI1x (- 12 Ph × h ×1+ 12 Ph × h ×1) = 0 .

Такой же результат получим при вычислении δ12 = δ21 = 0 и δ13 = δ31 = 0 ,

так как и в этом случае перемножаются симметричная и кососимметричная эпюры.

Следовательно, канонические уравнения принимают такой вид:

Из полученной системы уравнений следует, что X1 = 0 , а определение X 2 и X 3 значительно упрощается по сравнению с другими вариантами выбора

основной системы, когда пришлось бы вычислять все коэффициенты и свободные

члены канонических уравнений и решать систему уравнений более высокого порядка.

Обобщая результат решения рассмотренного примера отметим, что в

симметричной статически неопределимой системе, загруженной

18

симметричной нагрузкой, кососимметричные силовые факторы равны нулю, если основная система выбрана симметричной.

2.Рассмотрим теперь симметричную систему, загруженную

Рис.7.35 Рис.7.36

Основную систему выбираем симметричной (рис.7.29), эквивалентная система приведена на рис.7.36. Записываем канонические уравнения:

Строим грузовую эпюру (рис.7.37). Эпюры единичные

Рис.7.37

будут такие же, как и в предыдущем примере (рис.7.32, 7.33,7.34). Свободны

Вторая группа уравнений относительно неизвестных X 2 и X 3 имеет

определитель отличный от нуля. Следовательно, симметричные силовые факторы нормальная сила X 2 и изгибающий момент X 3 равны нулю.

19

Итак, показано, что в сечении по оси симметрии в стержневой системе,

загруженной кососимметричой нагрузкой симметричные силовые факторы равны нулю.

Если симметричная статически неопределимая система загружена произвольной нагрузкой, то основную систему рекомендуется выбирать также симметричной. В этом случае упрощения будут не столь существенными, как в рассмотренных примерах, но часть коэффициентов окажется равными нулю, что в какой-то степени ускорит решение задачи.

7.5. Пример расчета симметричной статически неопределимой рамы, загруженной кососимметричной нагрузкой (рис.7.38).

Раскрыть статическую неопределимость с учетом симметрии рамы и нагрузки, провести деформационную проверку, подобрать двутавровое сечение рамы из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям, если

R=210МПа.

Рис.7.38

Решение.

Определяем степень статической неопределимости:

S = 3K - Ш = 3× 2 - 0 = 6 .

Выбираем основную систему симметричной (рис.7.39): Эквивалентная система представлена на рис.7.40.

Так как нагрузка кососимметрична, а система симметрична, то

20