61. Ависящий от параметра собственный интеграл

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область , на которой определена функция двух переменных.

Пусть далее, .

Функция и называется интегралом, зависящим от параметра.

Свойства интеграла, зависящего от параметра НепрерывностьПусть функция непрерывна в области как функция двух переменных. Тогда функция непрерывна на отрезке .

Доказательство

Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра. 

.

По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть 

.

Следовательно, при , что и означает непрерывность функции

Дифференцирование под знаком интеграла

Пусть теперь на области непрерывна не только функция , но и её частная производная .

Тогда , или, что то же самое, 

Доказательство Данные преобразования были выполнены с использованиемтеоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение .

Используя вновь теорему Кантора, но для функции мы получаем, чтопри, что и доказывает данную теорему

Интегрирование под знаком интеграла

Если функция непрерывна в области , то

, или, что то же самое:

62. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

определение

Пусть имеется функция f(x; l), которая определена и непрерывна при x и l, таких что .

При этом , так что промежуток x Î [a; b] является конечным;

, так что промежуток l Î [a; b] может быть и бесконечным.

Если функцию f(x; l) проинтегрировать по промежутку x Î [a; b], то получим функцию,

которая называется интегралом, зависящим от параметра λ.

63. Га́уссовинтегра́л (также интеграл Э́йлера — Пуассо́на или интеграл Пуассона^[1]) — интеграл от гауссовой функции:

Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции

и многомерные гауссовы интегралы

элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).

То же относится к многомерным интегралам вида

где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.

Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразование от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение

64) Эйлеровы интегралы.Гамма-функция, бета-функция

Бета-функцией Эйлера называется интеграл .

Гамма-функцией Эйлера называется интеграл

Свойства B функции:

1. Область определения . Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой. Тогда привыполнено. Но интегралсходится. Аналогично доказывается для второго интеграла.

2. Доказательство через замену переменных.

3. Формулы понижения . Доказательство.

После выполнения переноса в левую часть и деления на соответствующий множитель получим требуемое равенство.

4. получаетсязаменой

СвойстваГфункции:

1. Область определения . Доказательство. Разобъем интеграл на сумму двух интегралов точкой 1. Тогда приx[0,1] выполнено. Но интегралсходится. Наимеем. Асходится.

2. . Доказательство. Воспользуемся теоремой о возможности дифференцирования под знаком несобственного интеграла: если есть функциято если интеграл сходится равномерно вG, то . То есть нам нужно доказать равномерную сходимость Г(α) по α. Для этого возьмем на (0,1] и [1,) мажорантные интегралыи. Они сходятся, значит исходный сходится равномерно. Тогда можно дифференцировать. Дифференцируя по α подинтегральное выражение, получим требуемое.

3. Формулы понижения . Доказательство

4. 

5. Г(1)=1, Г(n+1)=n!, Г()=, Г(n+)=(n-1)!. Доказательство.Первые два равенства доказываются непосредственно подсчетом интегралов и применением формулы понижения, последнее через формулу понижения. Третье равенство - частный случай свойства 4 при α=.

Cвязь между Гамма- и Бетта-функциями (без доказательства):

406