Формирование начального плана методом северо-западного угла
Самым простым способом отыскания исходного базисного решения является правило северо-западного угла. Такое название объясняется тем, что распределение груза в матрице перевозок идет слева направо и сверху вниз, что соответствует движению на географической карте с началом на северо-западе. Суть этого способа видна из следующего примера.
Пример 1. Исходные данные транспортной задачи сведены в табл. 2. Найти базисное решение по правилу северо-западного угла.
Таблица 2.
|
ai \ bj |
b1=25 |
b2=10 |
b3=35 |
b4=5 |
b5=35 |
|
a1 =20 |
5 |
6 |
2 |
3 |
1 |
|
a2 =30 |
3 |
7 |
8 |
6 |
8 |
|
a3 =45 |
9 |
8 |
1 |
4 |
3 |
|
a4 =15 |
9 |
3 |
6 |
10 |
7 |
Схема распределения груза по правилу северо-западного угла состоит в следующем. Попытаемся удовлетворить потребности пункта назначения В1 в 25 ед. груза (1-ая колонка плана перевозок xij)
За счет пункта отправления А1 можно удовлетворить только 20 ед., т.е. полагаем x11 = 20. Недостающие 5 ед. для пункта В1 берем из пункта А2, т.е. х21 = 5. После этого план перевозок xij примет вид
|
ai \ bj |
b1=25 |
b2=10 |
b3=35 |
b4=5 |
b5=35 |
Остаток ai |
|
a1 =20 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
a2 =30 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
25 |
|
a3 =45 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
45 |
|
a4 =15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15 |
|
Остаток bj |
0 |
10 |
35 |
5 |
35 |
|
В нижней строке и правом столбце указываем остаток нераспределенного груза. В строке для А1 и в столбце для В1 остаток равен нулю, т.е груз полностью распределен.
За счет А2, где осталось 25 ед., удовлетворяем также В2, полагая x22 = 10. В столбце для В2 получаем остаток, равный нулю. Поэтому оставшиеся в А2 15 ед. отправляем в В3. Продолжая аналогичным образом, получим следующий план перевозок (в числителе клетки показаны значения cij, а в знаменателе – xij ):
Таблица 3.
|
ai \ bj |
b1=25 |
b2=10 |
b3=35 |
b4=5 |
B5=35 |
|
a1 =20 |
5 / 20 |
6 / 0 |
2 / 0 |
3 / 0 |
1 / 0 |
|
a2 =30 |
3 / 5 |
7 / 10 |
8 / 15 |
6 / 0 |
8 / 0 |
|
a3 =45 |
9 / 0 |
8 / 0 |
1 / 20 |
4 / 5 |
3 / 20 |
|
a4 =15 |
9 / 0 |
3 / 0 |
6 / 0 |
10 / 0 |
7 / 15 |
Ненулевыми оказалось m+n-1= 4+5-1=8 клеток. Они соответствуют неизвестным
x11, x21, x22, x23, x33, x34, x35, x45. (5)
Можно показать, что систему уравнении вида (2)-(3) для данной задачи можно разрешить относительно указанных неизвестных (5), т.е. эти неизвестные образуют базис, а решение, полученное в табл. 3, является базисным для базиса (5). Клетки в матрице перевозок, отвечающие базисным неизвестным, принято называть базисными, а остальные - свободными. Для того чтобы базисные клетки отличить от свободных, будем выделять их более жирным шрифтом, помещая в знаменателе значение базисного неизвестного в базисном решении. В свободных клетках будем помещать в знаменателе нули.
Полученный план перевозок имеет стоимость
Z = 5*20+3*5+7*10+8*15+1*20+4*5+3*20+7*15 = 100+15+70+120+20+20+60+105 = 510