10.4. Примеры расчета Пример 1

Построить ядро сечения для двутавра № 24 (рис. 10.5). Основные данные (ГОСТ 8239–89): h = 240 мм, b = 115 мм, i_x = 9,97 см, i_y = 2,37 см.

Решение

Рассмотрим четыре положения нейтральной линии. Для первого положения n₁–n₁ а_х = , а_у = h/2 = 120 мм. По формулам (10.7) находим х_F = 0, .

Получаем точку1 ядра сечения. Для второго положения нейтральной линии n₂n₂ ,а_у = .

Соответственно,

Это дает точку 2. Переход от n₁n₁ к n₂n₂ осуществляется путем вращения вокруг угловой точки двутавра, при этом полюс силы между точками 1 и 2 перемещается по прямой. Повторяя рассуждения по отношению к положению нейтральной линии n₃n₃ и n₄n₄, получим точки 3 и 4 ядра сечения.

Таким образом, ядро сечения для двутаврового профиля имеет вид ромба.

Пример 2

Чугунный короткий стержень (рис. 10.6) сжимается силой F, приложенной в точке А, b = 5 см, МПа,МПа. Определить допустимую силуF. Построить ядро сечения.

Решение

1. Определение центра тяжести сечения.

Ось y_C является осью симметрии, следовательно, главной центральной осью. Разбиваем рассматриваемое сечение на две простые фигуры: 1 – полуокружность, 2 – прямоугольник. За вспомогательные оси выберем главные центральные оси полуокружности y₁, x₁.

Так как ось y_C является осью симметрии, x_C = 0. Определяем координату y_C:

2. Определение осевых моментов инерции сечения относительно главных центральных осей x_С, y_С.

,

,

,

, ,

.

Главная ось у_С проходит через центры тяжести элементов (оси у₁, у₂ совпадают с осью у_С), следовательно, момент инерции относительно этой оси будет равен:

,

,

,

.

3. Определение положения нейтральной линии. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях x_С и y_С, определяем по формулам (10.4):

где

, ,

Откладываем полученные отрезки (координаты) на соответствующих осях и проводим нейтральную линию (см. рис. 10.6). Определим наиболее удаленные точки поперечного сечения, проведя линии, параллельные нейтральной линии и касательные к контуру сечения. Наибольшие напряжения возникают в точках А и В, как наиболее удаленных. Координаты точек равны:

x_a = 2,5 см, y_a = 8,49 см,

.

,

.

4. Определение напряжений в опасных точках (А и В):

5. Определение допустимой силы F.

Из условия прочности на сжатие

,

Из условия прочности на растяжение

,

.

Принимаем в качестве допустимой силы наименьшее значение F_доп = 113 кН.

6. Построение ядра сечения.

Определим координаты соответствующих точек приложения силы F по заданным положениям нейтральной линии, касающейся контура поперечного сечения (рис. 10.7) на основании выражений

, .

Координаты точек силы F, лежащие на границе ядра сечения, имеют следующие значения в зависимости от положений нейтральной линии:

положение 1–1:
положение 2–2:
положение 3–3:	;
положение 4–4:	;
положение 5–5, :
положение 6–6, :	по аналогии с положением нейтральной линии 5–5: см,см,см,см.

Ядро сечения для заданного поперечного сечения изображено на рис. 10.7.