10.2. Определение положения нейтральной линии

При сложном профиле сечения стержня для определения опасной точки предварительно находится положение нейтральной линии. Учитывая, что на нейтральной линии напряжения равны нулю, получаем:

Здесь х₀ и у₀– координаты любой точки нейтральной линии. Уравнение нейтральной линии будет иметь вид

. (10.3)

Это – уравнение прямой, не проходящей через начало координат (рис. 10.2).

По уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях. Обозначим эти отрезки (см. рис. 10.2) через а_хи а_у.

Е

Рис. 10.2

сли принять, чтоу₀ = 0, х₀ = а_х, то из уравнения (10.3) получим

Принимая х₀ = 0, у₀ = а_у, будем иметь

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях:

, . (10.4)

Исследование этих формул показывает, что точка приложения силы и нейтральная ось лежат по разные стороны относительно центра тяжести сечения.

Отметим, что нейтральная линия делит поперечное сечение стержня на две зоны – сжатую и растянутую. Проводя параллельно нейтральной линии касательные к контуру сечения, найдем опасные точки С и D, лежащие в растянутой и сжатой зонах (см. рис. 10.2).

Условие прочности для стержня из пластичного материала запишется в виде

(10.5)

где х_оп и y_оп – координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной линии (точка D на рис. 10.2).

Для стержней, выполненных из неравнопрочного материала, расчет на прочность ведется для двух опасных точек (в растянутой и сжатой зонах).

Условия прочности имеют вид:

,

. (10.6)

Здесь и– координаты опасных точек соответственно в растянутой и сжатой зонах.

10.3. Ядро сечения

Из анализа формул (10.4) можно отметить характерные особенности, связанные с поведением нейтральной линии при различных положениях силы F. Если сила F приложена в центре тяжести сечения (х_F = 0, у_F = 0), то нейтральная линия отсекает на координатных осях отрезки равные бесконечности (а_х =  а_у =  Напряжение при этом определяется выражением , т.е. имеется центральное растяжение или сжатие с равномерным распределением напряжений по всему сечению. С увеличением координат точки приложения силых_F и у_F нейтральная линия будет приближаться к сечению и при некотором положении точки приложения силы (1 на рис. 10.3) она коснется контура сечения (линия n₁  n₁). При дальнейшем увеличении эксцентриситета нейтральная линия пересечет контур сечения (см. рис. 10.2), разделив все сечение на две области – растянутую и сжатую. Понятно, что в случае, когда нейтральная линия касается контура сечения, все сечение испытывает напряжение одного знака. Отсюда следует определение ядра сечения как области, очерченной вокруг центра тяжести и специфичной тем, что продольная сила, приложенная в любой точке этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Из определения ядра сечения вытекает порядок его построения: задаваясь всевозможными положениями нейтральной линии как касательной к контуру сечения, вычисляют соответствующие координаты полюса силы:

, . (10.7)

Совокупность полученных точек дает контур ядра сечения.

На рис. 10.3 приведены сечение и построенное для него ядро. Показаны положения, которые нейтральная линия последовательно занимает при ее «обкатке» вокруг контура сечения, и соответствующие этим положениям точки приложения силы. При этом перемещение полюса силы между точками 1 и 2, 2 и 3, 5 и 1 происходит по прямым линиям.

Обоснованием перехода между точками приложения силы по прямым линиям является легко доказываемая теорема: если нейтральная линия вращается вокруг некоторой точки А, то сила F перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Рис. 10.3	Рис. 10.4

Для доказательства покажем, что при любом положении силы F_С на прямой 12 линия n_C  n_Cпроходит через точку А, т.е. _А = 0 (рис. 10.4).

Разложим силу F_с на две параллельные составляющие F_С1 и F_С2. От каждой из этих двух составляющих напряжение _А = 0, т.к. точка А одновременно принадлежит обеим нейтральным линиям: n₁n₁ и n₂n₂. Точка С взята произвольно, значит, при любом положении силы F на прямой 12 напряжение в точке A равно нулю.

Сделаем следующее замечание, касающееся построения ядра сечения. При рассмотрении любого контура, имеющего «впадины», нейтральная линия должна «катиться» по огибающей контура, иначе она будет пересекать сечение.