14.3. Зависимость критической силы от условий закрепления

От рассмотренной задачи легко перейти и к некоторым другим случаям продольного изгиба. Возьмем, например, стержень, оба конца которого при выпучивании могут свободно поворачиваться (рис. 14.2), т.е. шарнирное закрепление. Касательная в середине выпучивающегося стержня будет параллельна первоначальной оси стержня, и, следовательно, обе половины изогнувшегося стержня будут в таких же условиях, как и в рассмотренном выше случае. Критическая сжимающая сила будет равна

. (14.9)

До сих пор мы рассматривали первую форму, которой соответствует наименьшее значение сжимающей силы. Рассмотрим теперь другие формы искривления.

В общем виде упругая линия определяется уравнением

,

где .

Мы рассмотрели случай и получили первую возможную форму. Полагаяили, найдем

, или .

Соответствующие кривые представлены на фигурах а и б (рис. 14.3, а, б).

Распространяя эти кривые симметрично в сторону отрицательных направлений z, как это показано на рисунке пунктиром, получим различные искривления формы равновесия с опертыми концами. В местах пересечения сил F с искривленной осью будем иметь точки перегиба; изгибающей момент для этих точек равен нулю. Все эти высшие формы возможны при больших значениях сжимающей силы, и все они, как показывает опыт, неустойчивы.

Рассмотрим еще один случай, могущий иметь критическое значение – случай сжатия стержня с заделанными концами (рис. 14.4).

Чтобы помешать концам поворачиваться, нужно приложить моменты в плоскостях заделки. Это равносильно приложению сжимающих сил F с некоторым эксцентриситетом. На линии действия сил F должны лежать точки прогиба изогнутой оси стержня. Видно, что полученную кривую опять можно привести к первому разобранному случаю, если взять длину ; тогда получим формулу

, (14.10)

т.е. критические сжимающие силы в этом случае в 16 раз больше, чем в первом случае, и в четыре раза больше, чем для шарнирного закрепления (см. формулу (14.9)).

Д

Рис. 14.5

ля стержня длинойl, защемленного на одном конце и шарнирно опертого на другом (рис. 14.5), момент . Изгибающий момент на расстоянииот нижнего конца стержня будет равен

,

где R – реакция шарнирного закрепления.

или

,

общим решением этого уравнения будет

, (14.11)

где

.

Для определения постоянных С₁ и С₂ , а также реакции R рассмотрим условия на концах: приипри.

Соответственно этим условиям запишем три уравнения:

, ,

(14.12)

Все эти уравнения удовлетворяются при С₁ = С₂ = R = 0; в этом случае прогиб отсутствует и имеет место тривиальная форма равновесия. Для возможности возникновения выпученной формы равновесия необходимо существование решения системы уравнения (14.12), отличного от тривиального (нулевого) решения. Уравнения (14.12) являются однородными и содержат неизвестные С₁, С₂ и R. Подобная система уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, когда определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю. Таким образом, получаем так называемое «уравнение выпучивания»:

или, раскрывая определитель, получим трансцендентное уравнение

,

которое определяет критическую нагрузку.

Наименьший корень, удовлетворяющий уравнению, равен .

Следовательно,

.

Тогда

.

Приведенные формулы F_кр для различных случаев можно объединить в одну:

, (14.13)

где – приведенная длина стержня, определяемая по формуле, а – коэффициент приведения, с помощью которого стержень любого типа сводят к стержню, шарнирно опертому на концах, для которого при наименьшем значения F_кр потеря устойчивости сопровождается изгибом с одной полуволной.

Понятие приведенной длины впервые было введено Ф.Е. Ясинским.

На рис. 14.6 приведены коэффициенты и для четырех рассмотренных случаев.