Задание 2

Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 15+R (R – оста­ток от деления номера варианта на 12) в пункт А, где A=21+R, если R<6 и A=9+R, если R≥6. На рис. показана сеть дорог и стоимость перевозки единицы груза между отдельны­ми пунктами. Определить маршрут доставки груза, которому соответствую наименьшие затраты.

№ варианта	Значения
6	а1	а2	а3	а4	а5	а6	а7	а8	а9	а10	а11	а12	а13	а14	а15	а16
	19	17	24	15	13	36	15	38	18	45	18	17	17	15	18	17
	а17	а18	а19	а20	а21	а22	а23	а24	а25	а26	а27	а28	а29	а30	а31	а32
	52	39	16	18	43	35	11	17	21	44	17	15	12	22	58	42
	а33	а34	а35	а36	а37	а38	а39	а40	а41	а42	а43	а44	а45	а46	а47	а48
	33	90	45	70	70	90	11	15	18	22	90	33	12	60	44	33

Граф:

Сеть дорог между населенными пунктами

Решение:

Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 20 в пункт 26. Для нахождения кратчайшего пути между вершинами используется несколько алгоритмов, таких как алгоритм Дейкстры, алгоритм Форда и др. Но я использовал алгоритм Дейкстры:

Алгоритм Дейкстры

Для удобства объяснения этого алгоритма оговорим некоторые понятия, которые будут использоваться. Во-первых, введем понятие метки вершины: вершина называется помеченной, если она уже была рассмотрена. Во-вторых, будем считать, что каждой вершине соответствует пара чисел: первое число - означающее номер вершины, второе число - означает вес ребра, соединяющий вершину с рассматриваемой. В начале рассмотрения алгоритма каждое число будем считать равным бесконечности.

Перебирать все вершины, куда можно попасть из данной. Если метка, означающая длину пути данной вершины в сумме с меткой длины пути рассматриваемой вершины больше чем вес ребра, соединяющего рассматриваемую вершину с данной, то эту метку изменяем на число, означающее сумму веса ребра с длиной пути рассматриваемой вершины, а номер вершины - на номер рассматриваемой вершины. 

Если все ребра, выходящие из данной вершины рассмотрены, то помечаем вершину, чтобы ее больше не рассматривать и выбираем следующую.

Конец алгоритма.

Решая задачу алгоритмом Дейкстры, для удобства по ходу решения будем вести таблицу, в которую будем записывать данные (расстояния от одной вершины до другой):

После решения задачи по таблице определяем наименьший путь:

По значениям у вершины 26 поднимаемся от самого низу вверх, пока число не закончит повторяться. Потом перемещаемся по таблице как показано в таблице и делаем тоже самое, пока не поднимемся на самый верх.

Получим путь: 20→19→5→9→12→14→26.

Шаг №1. Определяем расстояния до каждой вершины и записываем значения в таблицу.

Шаг №2. Помечаем вершину с наименьшим расстоянием, и дальше, решая задачу, уже не будем обращать свое внимание на ней, будем определять расстояния до каждой вершины, не обращая внимание на помеченную вершину.

Шаг №3. Также помечаем вершину с наименьшим расстоянием и делаем все то же, что и на шаге №2. Также, сравнивая разные расстояния до одной вершины, выбираем наименьшее и записываем в таблицу.

Шаг №4.

Шаг №5.

Шаг №6.

Шаг №7.

Шаг №8.

Шаг №9.

Шаг №10.

Шаг №11.

Шаг №12.

Шаг №13.

Шаг №14.

Шаг №15.

Шаг №16.

Шаг №17.

Шаг №18.

Шаг №19.

Шаг №20.

В результате получим кратчайший путь от пункта 20 в пункт 26, который равен 113:

План перевозки груза при наименьших затратах от пункта 20 в пункт 26

В результате выполнения этой работы я научился работать с графом, находя наименьший путь с помощью метода Дейкстры, который может мне пригодиться и в будущем.