10. Минимизация высказываний методом Квайна. Пример.

Высказывание называется минимальным, если оно содержит наименьшее количество элементарных конъюнкций (дизъюнкций).

1. Выражение из произвольной формы приводится к СДНФ.

Элементарные конъюнкции в СДНФ называются конституентами единицы.

2. Выполнив в СДНФ все возможные неполные склеивания, а затем все возможные поглощения мы получим Сокращенную ДНФ (С_кДНФ), в которую входят все конъюнкции, не участвовавшие в склеивании. Конъюнкции в С_кДНФ называются импликантами.

Примечание: Склеивание: XY  XY ≡ X

Неполное склеивание: XY  XY ≡ X  XY  XY

3. На основании С_кДНФ и СДНФ строим импликантную матрицу: по столбцам располагаем конституенты единицы, по строкам – импликанты.

4. Находим минимальное покрытие импликантной матрицы, т.е. такой набор строк, который охватывает плюсами все столбцы. Получаем минимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ).

Пример 1:

f = XYZ  XYZ  XYZ  XYZ  XYZ

1 2 3 4 5

1-2 : XY (6)

1-3 : YZ (7)

1-5 : XZ (8 )

3-4 : XZ (9)

4-5 : YZ (10)

7-10 : Z

8-9 : Z

Импликантная матрица.

	_ _ _ XYZ	_ _ XYZ	_ _ XYZ	_ XYZ	_ _ XYZ
_ _ XY	+	+
_ Z	+		+	+	+

С_кДНФ(f) = XY  Z = МДНФ.

11. Минимизация высказываний с помощью карт Карно. Пример.

Одним из способов задания функций алгебры логики являются карты Карно.

Y X	0	1
0	1	0
1	1	1

f = XY

f = XY  XY  XY

X	Y	f
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Y Z X	0 0	0 1	1 1	1 f = YZ  XZ 0
0	1	0	1	0
1	1	0	0	1

c d a b	0 0	0 1	1 1	1 0
0 0	1	1	1	1 f = b  d
0 1	1	0	0	1
1 1	1	0	0	1
1 0	1	1	1	1

При использовании карт Карно производится покрытие с помощью правильной конфигурации, содержащей единицы.

Правильными конфигурациями являются все прямоугольники, имеющие площадь 2ⁿ (1, 2, 4, 8, 16, …).

При покрытии руководствуются следующими правилами:

1. Число покрытий должно быть минимальным, а площадь, покрываемая каждой правильной конфигурацией, максимальна.

2. Конфигурации могут перекрываться и накладываться друг на друга.

3. Можно объединять клетки, стоящие на противоположных сторонах таблицы. Угловые элементы объединяются в одну конфигурацию.

В МДНФ выписываем конъюнкции, состоящие из элементов, не меняющих своего значения в пределах одной конфигурации. Причем, если переменная сохраняет значение «1», то она записывается без отрицания, а если значение «0», то с отрицанием.