- •1. Физические свойства жидкости
- •Примеры
- •2. Гидростатика
- •2.1. Гидростатическое давление
- •Примеры
- •2.2. Сила гидростатического давления на плоскую поверхность
- •Примеры
- •2.3. Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность
- •Примеры
- •2.4. Плавание тел
- •Примеры
- •3. Уравнение д. Бернулли
- •3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии
- •Примеры
- •3.2. Уравнение д. Бернулли с учетом потерь энергии
- •Примеры
- •4.Истечение жидкости из отверстий и насадков
- •4.1. Истечение жидкости из отверстий
- •4.2 Истечение жидкости из насадков
- •Примеры
3. Уравнение д. Бернулли
3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии
Уравнение Д. Бернулли для потока невязкой жидкости (без учета потерь энергии), составленное в отношении произвольно выбранной плоскости сравнения, имеет следующий вид:
Левая часть уравнения представляет собой сумму двух видов энергии: потенциальной, состоящей из энергии положения и энергии давления, и кинетической энергии, отнесенных к единице веса движущейся жидкости. Коэффициент кинетической энергии потока, входящий в уравнение Д. Бернулли при движении невязкой жидкости, может быть принят равным единице.
Многие практические задачи, связанные с установившимся движением жидкости, решаются совместным применением уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности (сплошности) потока.
Уравнение неразрывности может быть записано в следующем виде:
откуда
где V1иV2— средние скорости в сечениях потока;
и— соответствующие площади живых сечений.
Примеры
3.1.Определить расход водыв трубе диаметром, имеющей плавное сужение до диаметра, если показания пьезометров: до сужения; в сужении. Температура воды.
Решение.Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, принимая за плоскость сравнения ось трубы:
.
Учитывая, что , пренебрегая потерями напора, т. е. принимая, и полагая,получим:
.
Из уравнения неразрывности расхода имеем:
.
Поскольку
;,
находим:
.
Обозначим
.
Тогда уравнение Бернулли запишется в виде
,
откуда найдем скорость в сечении 1-1:
.
Расход воды в трубе
,
где μ – коэффициент, учитывающий уменьшение расхода вследствие потерь напора; в первом приближении принимаем μ=0,98; тогда расход будет
.
Коэффициент μ зависит от отношения диаметров и числа Рейнольдса:
;
.
Найдем скорость в сужении трубы
.
Кинематическую вязкость воды примем: (табл. П-12).
С учётом полученных данных найдем число Рейнольдса
.
По табл. П-25 находим μ =0,98. Следовательно, в первом приближении значение μ принято верно.
Искомый расход .
Замечание: Рассмотренное сужение трубы с плавными переходами от большего диаметра к малому и от малого к большому называется водомером Вентури.
Ответ: .
3.2.Определить, на какую высоту поднимается вода в трубке, один конец которой присоединён к суженному сечению трубопровода, а другой конец опущен в воду. Расход воды в трубе, избыточное давление, диаметрыи.
Решение.Уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно оси трубы (потерями напора пренебрегаем) имеет вид (при)
.
Учитывая, что скорости в сечениях 1-1 и 2-2 находятся так
и,
то после преобразований получим:
Полученная отрицательная высота – вакуумметрическая высота. На эту высоту и поднимается вода в трубке.
Ответ: .
3.3. Определить критическую скорость, отвечающую переходу от ламинарного режима к турбулентному, в трубе диаметромd= 0,03 м при движении воды и воздуха при температуре 25˚C и глицерина при температуре 20˚C.
Решение.Из формулы для критического числа Рейнольдса имеем:
.
Для воды
.
Для воздуха
.
Для глицерина
.
3.4. Определить давлениер1 в сечении1-1горизонтально расположенного сопла гидромонитора, необходимое для придания скорости водеV2 = 40м/св выходном сечении2-2, если скорость движения воды в сечении1-1 V1= 3м/с.
Решение.Данная задача может быть решена при помощи уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности.
При составлении уравнения Д. Бернулли следует выбрать два сечения в рассматриваемом потоке и плоскость сравнения, по отношению к которой записывается уравнение для двух выбранных сечений. Эти сечения и плоскость сравнения выбираются так, чтобы наибольшее количество величин, входящих в уравнение, были известными, а в уравнение входили искомые величины.
При решении данной задачи удобно использовать сечения 1 — 1 и2 —2, поскольку скорости в этих сечениях заданы, давлениеp1подлежит определению, а давлениер2в сечении на выходе из гидромонитора равно атмосферному. Плоскость сравнения следует провести через ось сопла, тогда удельные энергии положенияz1 = z2 = 0 и уравнение Д. Бернулли будет иметь следующий вид:
откуда.
Ответ:.
3.5.Определить диаметрdсуженной части горизонтального трубопровода, при котором вода поднимается на высотуh = 3,5м при расходе
Q= 6л/с и диаметреD = 10см.
Решение.Плоскость сравнения совместим с осью трубы. Выбрав сечения1 — 1 и2 —2 и составив уравнение Д. Бернулли, получим:
Так как плоскость сравнения проведена по оси трубы, то z1 =z2= 0, и тогда
Для того чтобы вода поднялась на высоту 3,5 м, необходимо, чтобы удельная энергия давления в сечении1 — 1была равна, откуда.
Так как истечение происходит в атмосферу, то давление р2равно атмосферному, т.е.
Следовательно,
Для определения диаметра суженной части воспользуемся уравнением неразрывности движения , гдеи.
Подставив в уравнение найденные величины, получим
откуда искомый диаметр
Ответ: .
3.6.Определить расход воды в горизонтальном трубопроводе переменного сечения, скорость на каждом из участков и построить пьезометрическую линию, еслиH= 5м, d1= 15мм, d2= 20мм и d3 = 10мм.
Решение.Уравнение Д. Бернулли для сечений0 — 0 и3 —3при совмещении плоскости сравнения с осью трубы будет иметь вид
В данном случае =H,= 0. В связи с тем, что в сечениях0—0 и3—3давление равно атмосферному, то. Учитывая, чтоH=const, а скорость в сечении0—0 V0= 0, скорость в выходном сечении3 —3определится из зависимости
откуда
Расход воды в трубопроводе
Скорость в сечении 1 — 1
Скорость в сечении 2 —2
Пьезометрическую линию строят, исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учета потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0 —0. Пьезометрическая линия расположится ниже напорной линии на величинув каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной линии величиныв сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезометрическую линию (см. рис). При этом:
Ответ: .
3.7. Определить избыточное давление воды на входе в брандспойт и диаметр выходного сечения , необходимые для получения струи мощностьюQ=9 л/с, бьющей вертикально вверх на высоту Н=15 м при диаметре входного сеченияD=60 мм и длине брандспойтаh=0,5 м.
Решение:
Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 3-3
относительно плоскости сравнения
(см.рис.):
,
где Z1=0;p1=;Z3=(H+h);p3=pатм;V3=0;V1=.
Тогда .
Откуда найдем давление на входе в брандспойт:
Па=1,498Па.
Составим уравнение Бернулли для сечений 2-2 и 3-3 относительно плоскости сравнения (см.рис.):
,
где Z2=0;p2=pатм; р3=ратм;Z3=H;V3=0.
Тогда получаем уравнение:
, откуда определим скорость воды на входеVм|c.
Из уравнения постоянства расхода Q=найдем диаметрd:
d=м=25,8 мм.
Ответ: рПа;d=25,8 мм.
3.8. Поршень в цилиндре А, двигаясь вверх, поднимает воду из резервуара В при разности уровней воды в цилиндре под поршнем и в резервуаре Н=3 м. Определить скорость движения поршня, при котором абсолютное давление под ним р=0,65 кг/см.
Решение:
Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0 (см.рис.):
Z,
где Z;p=p;V;Z=H;p=p;V=V.
Тогда =H+.
Откуда найдем скорость поршня:
V=м/с.
Ответ: Vn=3,13 м/с.
3.9. Давление в трубопроводе диаметром d=35 мм при закрытом кране равно p=3,2 кгс/см2. Определить давление перед краном при расходе воды в трубопроводе Q=7,3 л/с.
Решение:
Найдём скорость движения воды в трубе после открытия крана:
м/с.
Таким образом, часть давления (первоначального) перейдёт в скоростной напор:
Hv=м.
Найдём это конечное давление перед краном:
р1 =
Па = 2,88 кгс/см2.
Ответ:р1=2,88 кгс/см2.
3.10. Горизонтальный отстойник для очистки сточных вод имеет ширинуb=1,5 м и глубинуh=1,0 м. Режим движения воды в отстойнике ламинарный. Определить максимально допустимый расход сточных вод в отстойнике, еслиt в=20oC,Rе<Rе кр
Решение: Так как режим движения воды в отстойнике ламинарный, то число Рейнольда длжно быть меньше критического, которое для открытых русел может быть найдено по зависимости:
Rе’кр== 800 ÷ 900,
где R=- гидравлический радиус;
ω=bh–площадь гидравлического сечения отстойника;
χ= 2h+b– смоченный периметр отстойника.
Тогда R= = =.
Найдём максимальное значение скорости, соответствующее максимальному режиму движения. При этом = 1.01·10-6 м2/c (Приложение 2, стр 226 (1)).
Замечание : скорость получилась вполне удовлетворительная для горизонтальных отстойников. Теперь найдём максимально допустимый расход сточных вод:
л/c
Ответ: .
3.11. Под действием разности уровнейH= 2,6 м и избыточном давленииp0 = 0.3 ат по трубе нормального сечения вода перетекает из из верхнего резервуара в нижний(d1=150мм,d2=125 мм,d 3=100 мм). Определить расход воды и построить пьезометрическую линию без учёта потерь на трение.
Решение:
Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1
и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0
( см. рис.):
,
где Z1=H;Z2= 0;p1 = po +pат;p2 =pат;
V1 =V2≈ 0.
Так как по условию задачи потери на трение
не учитываются, то остаются только
потери напора на местных сопротивлениях:
hw=hl +hм= 0 +hм,
где hм =hвх +hвн.с.1 +hвн.c.2 +hвых.
В результате получаем:
или (*).
Распишем местные сопротивления:
;:
;;
где ;;
;;
.
Подставив исходные данные в эти формулы, в результате получим:
;;
;
;
;
;
Потери напора в местных сопротивлениях приведем к одной скорости, в частности, к V3 :
;;
;;
Представив эти значения в уравнение (*) , в результате получим:
.
Найдём напор; соответствующий давлению
.
Получаем уравнение:
,
откуда найдём скорость
.
Найдём величину расхода воды, протекающей по трубе:
Для построения пьезометрической линии найдём величину скоростного напора в каждой из трёх труб:
;
;
.
Найдём теперь потери напора на местных сопротивлениях и от этих значений вниз отложим величины скоростных напоров, в результате получим линию пьезометрических напоров p-p:
;
;
;
.
Замечание: если бы в решении задачи были учтены потери напора на трение по длине, то линияp-pна участкахd1, d2, d3 имела бы наклонный характер.
3.12. Из открытого резервуара вода вытекает по расширяющейся трубе с диаметрамиd1=300 мм иd2=350 мм , длиной от суженной части до нижнего сеченияH2= 2,5 м. Найти давлениеpв суженной части трубы при напореH1= 0,65 м. Потерями напора пренебречь.
Решение:
Запишем уравнение Бернулли для сечений а-а и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0 (см. рис.):
Тогда
откуда найдем скорость истечения :
.
По уравнению постоянства расхода найдем скорость воды в сечении 1-1:
.
Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0:
где .
Тогда откуда найдём давление
Ответ:
3.13. Определить среднюю скорость движения воды в трубе, если разность показаний между динамической и статической трубками, определяемая по ртутному дифференциальному пьезометру, составляетh=20 мм.
Решеиие:
Составим уравнение равновесия для
ртутного пьезометра:
,
где - давление в точке А.
Получаем
=h(- 1).
Следовательно, скорость на оси трубы равна: ==
==2,22м/с
Средняя скорость в трубе при турбулентном режиме движения составит
V=(0,850,95)=(0,850,95)2,22= (1,892,11)м/с.
Ответ. V2,0м/с.
3.14. Из резервуара по трубе, имеющей сужение, протекает вода. Определить диаметр суженной частиd, при котором образуется заданная величинаhвак=10мм, если известны напор Н=10м и диаметрD=100мм.
Дано:
Решение:
Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 2-2 относительно плоскости сравнения -:
где .
Тогда получаем .
Найдём скорость на выходе из трубы .
Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения -:
где .
Подставим и получим ,
Откуда найдём вакуум.
Поделим на удельный вес ртути и найдём вакуумметрическую высоту
;
или
.
Найдём скорость в сечении 1-1
По уравнению неразрывности найдём диаметр в сечении 1-1
Ответ: .