1.7. Представление k-значных функций в виде нормальных форм

Теорема 2. Любая функция k - значной логики может быть представлена в виде СДНФ:

f(x₁,..., x_n ) = v _1( x₁ ) & _2( x₂ ) &... _n( x_n) & f ( ₁, ₂,..., _n )

или в виде - формы:

f( x₁,..., x_n) =  ₁ ( x₁ ) & ₂ ( x₂ )... & _n ( x_n )  f ( ₁,...,_n).

Пример. Для функции, заданной таблицей истинности

x1	x2	f
0	0	0
0	1	1
0	2	2
1	0	0
1	1	0
1	2	0
2	0дд 0	0
2	1	1
2	2	0

составить СДНФ и - форму.

Решение. Заметим, что значения x_i в таблице соответствуют индексам _i при функциях _i и _i. И в соответствии с выше обозначенными формулами можно записать:

f( x₁, x ₂ ) = ₀( x₁ ) & ₁( x₂ ) & 1 v ₀( x₁ ) & ₂( x₂ ) & 2

v ₂( x₁ ) & ₁( x₂ ) & 1.

f( x₁, x ₂ ) = ₀( x₁ ) & ₁( x₂ )  1  ₀( x₁ ) & ₂( x₂ )  2

 ₂( x₁ ) & ₁( x₂ )  1.

1.8. Двоичное кодирование переменных и функций трехзначной логики

Закодируем аргументы следующим образом:

x	1	2
0	0	0
1	0	1
2	1	0

Откуда следует, что для записи и передачи любого троичного переменного необходимо использовать две двоичные переменные v₁, v₂. При этом функции _i(x) будут кодироваться следующим образом: _i’, _i’’ по 2-м выходам соответственно.

x	1	2	0’	0’’	1’	1’’	2’	2’’
0	0	0	0	1	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	1	0	0
2	1	0	0	0	0	0	0	1
*	1	1	*	*	*	*	*	*

Удобно доопределить _i’ на наборе <1,1> нулями, тогда получим

0’ = 1’ = 2’ = 0; 0’’ = ₁ & 2; 1’’ = ₁ & 2; 2’’ = ₁ & 2.

Один из способов моделирования трехзначной логики заключается в создании функциональных элементов с тремя устойчивыми состояниями, то есть с квантованием сигнала по трем уровням, при этом принята следующая система аналогий:

• положительный потенциал - 0;

• нулевой потенциал - 1;

• отрицательный потенциал - 2.

Практически, в полупроводниковых схемах для трехзначной функции справедливо:

• положительным потенциалом считается потенциал >= 1.5В.

• нулевым потенциалом считается потенциал по модулю <= 0.6В.

• отрицательным - потенциал <=- 1.5 В.

Пример. Построить таблицу истинности для функций

X₁  X₂, X₁  X₂.

Закодировать в двоичной системе координат, представить СДНФ, минимизировать и построить для одной из выбранных функций комбинационную схему в базисе (&,V,  ).

Решение.

X1		X2		X1 X2		X1  X2
V1	V2	V3	V4	f1	f2	f3	f4
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	1	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0
0	0	1	1	*	*	*	*
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0	0	1
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	1	1	*	*	*	*
1	0	0	0	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0	1	0
1	0	1	0	0	1	0	1
1	0	1	1	*	*	*	*
1	1	0	0	*	*	*	*
1	1	0	1	*	*	*	*
1	1	1	0	*	*	*	*
1	1	1	1	*	*	*	*

Таким образом, функцию f( x1,x2 ) можно представить следующим образом:

f( x1,x2 ) = < f1 (v1,v2,v3,v4 ), f2 (v1,v2,v3,v4 ) > .

f1 = v1 v2 v3 v4 v v1 v2 v3 v4 v v1 v2 v3 v4,

f2 = v1 v2 v3 v4 v v1 v2 v3 v4 v v1 v2 v3 v4 .

Как следует из кодировки функции, логическая схема ее реализующая должна иметь два выхода и четыре входа. Прежде чем приступить к построению схемы необходимо выполнить минимизацию сформированных функций f₁, f₂. Выполним действия относительно одной из функций, например, f₁. Составим карту Карно.

v₁ v₁ v₁ v₁

V2			*	*	v4
V2	1	*	*	*	v4
v2		*	*		v4
v2		1		1	v4

v₃ v₃ v₃ v₃

Для того чтобы минимизировать слабо определенную функцию в карте Карно проставляют специальный знак, например, * в местах характерных наборам, на которых функция не определена, затем * меняют на 1 в тех клетках, прямоугольники составленные из которых уменьшили бы число конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний. Сказанное позволяет записать:

f1 = v2 & v4 v v3 & v1 & v2 v v3 & v4 & v1.

Аналогично составляются функции f2, f3, f4. Схемная реализация функции f1 примет вид:

v1

v2

v3

v4

& & & &

&

& &

1

1

f1