1.3. Булева алгебра. Функциональная полнота

Определение. Алгеброй над множеством логических функций с двумя бинарными операциями, обозначаемыми как логическое умножение ‘ & ‘ и логическое сложение ’v ’ и одной унарной операцией (отрицанием)

' ‘ называется булевой алгеброй.

Будем обозначать ее символом _B. Рассмотрим свойства булевой алгебры.

1. Замкнутость

для  A и B  _B

A v B  _B

A & B  _B

2. Коммутативность

A & B = B & A

A v B = B v A

3. Ассоциативность

A v ( B v C) = (A v B) v C

4. Дистрибутивность

A & ( B v C) = (A & B) v (A & C)

A v ( B & C) = (A v B) & (A v C)

5. Идемпотентность

A v A = A & A = A.

6. Булева алгебра содержит элементы 0,1 , такие что для всякого

элемента A  _B справедливо:

A v 0 = A, A v 1 = 1

A & 0 = 0, A & 1 = A.

7. Для каждого элемента A  _B существует элемент , такой что

A v =1

A & =0.

8. Закон поглощения

A & (A v B) = A v A & B = A.

9. Закон Де Моргана

 ( A v B ) = A & B

 ( A & B ) = A v B.

Определение. Система функций f₁, f₂... f_n  _B называется полной, если любая функция  из _B представима в виде суперпозиции функций f₁, f₂... f_n.

Определение. Система функций f₁, f₂... f_n  _B , являющаяся полной, называется базисом.

Определение. Минимальным базисом называется базис, для которого удаление хотя бы одной из функций f_i превращает систему функций в неполную.

Можно показать, что системы функций { &, } и { , } - полные. Система функций { &, , } является полной, но избыточной, так как она сохраняет свойства полноты и при удалении из нее & или . За не избыточность системы функций { &, } и { , } приходится платить избыточностью формул (повышением сложности функций).

Определение. Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями & и  называется алгеброй Жегалкина.

Свойства алгебры Жегалкина

1. Коммутативность

x  y = y  x

2. Дистрибутивность

x & (y  z)= x & y  z & x

3. Идемпотентность

x  x = 0

x  0 = x

Для алгебры Жегалкина характерно

= x  1

x  y = x & y  x  y

Определение. Формула, имеющая вид полинома по модулю 2 называется полиномом Жегалкина для функции алгебры логики.

Замечание. От булевой формулы всегда можно перейти к полиному Жегалкина.

1.4. Минимизация функции алгебры логики

Работа автомата может быть полностью описана с помощью следующей системы функций алгебры логики [2]:

y₁= f₁ (x₁ ... x_n )

y₂= f₂ (x₁ ... x_n )

...

y_m= f_m (x₁ ... x_n ).

Здесь P_i = ( X₁, X₂, ...,X_n ); Q_j = ( y₁, y₂, ...,y_m ) - соответственно входное и выходное слово. Работа автомата может быть задана либо в виде конечных таблиц, либо в виде аналитической записи функций f_{i .}

Проблема полноты системы функций эквивалентна проблеме выбора стандартного набора элементов, из которого будет строиться автомат (блок вычислительной техники), при этом все функции f_i должны быть выражены через базисные функции. Уменьшение числа функций в базисе приводит к уменьшению стандартных элементов, на которых строится схема, однако, при этом увеличивается общее число элементов схемы и возникает задача о “простейшем” представлении логических функций через систему базисных функций. Для этого используют методы минимизации:

• метод вынесения за скобки;

• метод неопределенных коэффициентов;

• метод с использованием карт Карно;

• метод Мак - Класки;

• метод Блэка.

Рассмотрим метод минимизации СДНФ с помощью карт Карно. Карта Карно - это диаграмма, состоящая из 2ⁿ квадратов, где n - число переменных. Клетка карты - одна из возможных конъюнкций, входящих в СДНФ. Минимизация на основе карт Карно осуществляется путем локализации на карте прямоугольных областей из числа клеток кратного 2.

Для работы с картой необходимо по таблице истинности составить СДНФ, затем для каждой элементарной конъюнкции проставить 1 в соответствующие клетки карты. Затем единицы объединяются таким образом, чтобы минимизировалось число логических сложений, умножений или отрицаний, что важно для экономного конструирования ЭВМ.

Для двух переменных: Для трех переменных:

a a

c

b

b

Для четырех переменных:

a

c

c d

d

b

Пример. Для логической функции заданной таблицей

x1	x2	x3	f
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	1
0	1	1	1

построить карту Карно и на ее основе минимизировать функцию.

Решение. Построим карту согласно описанным выше правилам.

x₁

1 1 f = x1 v x2 & x3

x_{2 1 1 1}

x₃

Рассмотрим пример представления простейшей функции картой Карно:

a

c 1 1

c 1 1 d

f = b

1 1 d

1 1

b