1.2. Функции алгебры логики

Рассмотрим множество векторов X = {<x₁... x_n>}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом, множество X состоит из 2ⁿ векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1} [1].

Определение. Функцией алгебры логики называется функция, дающая однозначное отображение X в Y.

Определение. Если две функции алгебры логики f₁(x₁... x_n) и

f₂( x₁... x_n) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения, то их называют равными

Определение. Функция f(x₁... x_n) существенно зависит от аргумента x_i , если имеет место соотношение : f(x_1... x_i-1 , 0, x_i+1 ... x_n)  f(x_1... x_i-1 , 1, x_i+1 ... x_n) . В противном случае x_i - фиктивный аргумент.

Теорема 1. Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно и равно 2ⁿ.

Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:

Таблица1.6

x1, x2,..., xn	f(x1, x2,..., xn )
00...00	a1
00...01	a2
00...10	a3
...	...
11...11	a2n

Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2ⁿ. Следовательно, число функций будет равно 2ⁿ.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию области определения функции алгебры логики. Сопоставим наборам аргументов алгебры логики точки n-мерного пространства. Тогда множество 2ⁿ таких наборов определит множество вершин n- мерного единичного куба. Таким образом, множество вершин n- мерного единичного куба есть область определения функций алгебры логики. Пусть вершина А соответствует набору

( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 1 ), а вершина B - набору ( х1 = 1, х2 = 1, х3 = 0 ).

Тогда графически это может быть представлено следующим рисунком:

X3

A

0 X2

B

X1

Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация области определения логических функций

Рассмотрим основные функции, которые играют основную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях:

1. f = X.

2. f = X

3. f = 0.

4. f = 1.

5. f = X v Y.

6. f = X  Y.

7. f = X  Y (равенство, эквивалентность).

8. f = X  Y (импликация).

9. f = X  Y (стрелка Пирса, функция Вебба).

10. f = X | Y (штрих Шеффера).

11. f = X  Y (сложение по модулю 2).

Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода: - подстановка в функцию новой функции вместо аргументов и переобозначение аргументов.

Определение. Функция, полученная из f₁ ... f_k путем применения возможно многократно указанных двух подходов называется суперпозицией функций f₁ ... f_k.

Пример. Представить в виде таблицы функцию

f (X1,X2 ) = { ( X1  X2 ) v (X1  X2 ) } = X1 | X2.

Решение.

X1	X2	X1  X2	X1  X2	X1 | X2.
0	0	1	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	0	0	0

Пример. Показать, что

X1  X2 = X1 v X2 на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.

Решение.

X1	X2	X1  X2	X1	X1 v X2
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	0	1

Аналогично можно показать, что сложение по модулю 2:

X1  X2 =  ( (X1 v X2) & (X1 v X2 ) ).

А функция эквивалентности: X  Y = (X1 v X2) & (X1 v X2 ), т.е. эти 2 функции связанны отношением отрицания.

(X1 ) = X.

X1 & X2 =  (X1 v X2).

X1 v X2 =  (X1 & X2).

Рассмотрим свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

1. Коммутативность

x₁ & x₂ = x₂ & x_1.

x₁ v x₂ = x₂ v x_1.

2. Ассоциативность

x₁ v (x₂ v x₃) = (x₁ v x₂) v x_3.

x₁ & (x₂ & x₃) = (x₁ & x₂) & x_3.

3. Дистрибутивность

x₁ & (x₂ v x₃) = (x₁ & x₂) v ( x1 & x₃ ).

x₁ v (x₂ & x₃) = (x₁ v x₂) & ( x1 v x₃ ).

Отметим также важные соотношения:

X v X = X, X & X = X, X v 1 = 1, X & 1 = X,

X v 0 = X, X & 0 = 0, X v X = 1, X & X = 0.

Положим x ^ = { X , если  = 1; X , если  = 0 } .

Утверждение. Любая функция алгебры логики кроме 0 может быть представлена в форме

f(x ₁...x_n) =  x₁ ^ & x₂ ^... & x_n ^ (1.1)

При этом дизъюнкция в правой части берется только по тем наборам аргументов, на которых функция, заданная таблично, обращается в 1.

Определение. Представление функции алгебры логики в виде (1.1) называется ДСНФ - дизъюнктивной совершенной нормальной формой.

Для построения ДСНФ необходимо выполнить следующие шаги:

• выбрать в таблице истинности заданной функции все наборы аргументов, на которых функция равна 1;

• выписать соответствующие этим наборам конъюнкции, при этом, если аргумент x_i входит в данный набор как 1, то он записывается без изменений, если же, как 0 , то берется ;

• все полученные конъюнкции объединяются под знаком дизъюнкции.