3. Обратные перестановки. Алгоритмы

Каждая перестановка имеет себе обратную. Например, имеем перестановку

, для нее обратной будет перестановка

.

Алгоритм I. (Обратная перестановка на месте). Заменим перестановку X[1], X[2] … X[n], которая является перестановкой чисел {1, 2, …, n}, обратной перестановкой.

I1. [Инициализация]. Присвоить m  n, j  -1.

I2. [Следующий элемент]. Присвоить i  X[m]. Если i < 0, перейти к шагу I5 (этот элемент уже был обработан).

I3. [Обратить один элемент]. (В этот момент j < 0 и i = X[m]. Если m не является наибольшим элементом своего цикла, то первоначальная перестановка давала X[-j] = m). Присвоить X[m]  j, j  -m, m  i, i  X[m].

I4. [Конец цикла?]. Если i > 0, перейти к шагу I3 (этот цикл не закончен); иначе — присвоить i  j. (В последнем случае первоначальная перестановка давала X[-j] = m, где m — наибольший элемент в его цикле.)

I5. [Сохранить окончательное значение]. Присвоить X[m]  -i. (Первоначально X[-i] было равно m).

I6. [Цикл по m]. Уменьшить m на 1. Если m > 0, перейти к I2, в противном случае работа алгоритма заканчивается.

Пример. Найти обратную перестановку для строки: 6 2 1 5 4 3.

Решение. В качестве второй строки запишем порядковые номера цифр строки, получим:

Переставим строки местами, получим: . Переставим столбцы местами, сохраняя порядок элементов заданной строки, получим . Таким образом, перестановка (3 2 6 4 5 1) является результатом обращения исходной строки 6 2 1 5 4 3.

Алгоритм J. (Обращение на месте). Этот алгоритм дает такой же результат, как и алгоритм I, но на основании другого подхода.

J1. [Сделать все величины отрицательными]. Присвоить X[k]  -X[k] для 1  k  n. Присвоить также m  n.

J2. [Инициализация j]. Присвоить j  m.

J3. [Нахождение отрицательного элемента]. Присвоить i  X[j]. Если i > 0, то присвоить j  i и повторить этот шаг.

J4. [Обращение]. Присвоить X[j]  X[-i], X[-i]  m.

J5. [Цикл по m]. Уменьшить m на 1, если m > 0, вернуться к шагу J2. В противном случае работа алгоритма заканчивается.

Хотя алгоритм J невероятно изящен, анализ показал, что алгоритм I намного его превосходит. На самом деле оказывается, что среднее время выполнения алгоритма J, в сущности, пропорционально n ln(n), а среднее время выполнения алгоритма I пропорционально n.

Запись перестановки в циклическом виде не единственна; состоящую из шести элементов перестановку (1 6 3) (4 5) (2) можно записать как (4 5) (3 1 6) (2) и другими способами, что вносит некоторую неопределенность. Поэтому важно рассмотреть каноническую форму циклического представления, которая является единственной.

Для получения канонической формы перестановки выполним следующие действия:

1. Вписать в перестановку пропущенные единичные циклы.

2. Внутри каждого цикла поместить на первое место наименьшее число.

3. Расположить циклы в порядке убывания их первых элементов.

Пример. Для циклической перестановки (3 1 6) (5 4) найти каноническое

представление.

Решение. (3 1 6) (5 4) (2)  (1 6 3) (4 5) (2)  (4 5) (2) (1 6 3).

Важным свойством канонической формы является то, что скобки можно опустить, а затем восстановить единственным образом.

Последовательность действий следующая:

1. Выбираем направление просмотра строки слева направо.

2. Расставляем “(“ в начале строки и “)” в конце строки.

3. Ищем минимальное число и, если перед ним еще не стоит “(“ ставим “(“

4. Перед “(“ ставим “)”.

5. Переходим к анализу нерассмотренных еще элементов строки.

6. Если еще не все элементы рассмотрены, переход к п. 3.

7. Конец алгоритма.

Пример. Написать каноническую форму для перестановки (6 4 3) (5 1 2)

Решение.

1. (6 4 3) (5 1 2)

2. (3 6 4) (1 2 5)

3. 3 6 4 1 2 5.

Обратный процесс введения скобок циклов будет следующим (3 6 4) (1 2 5).