3. Образы и прообразы множеств при отображениях

Пусть задана функция и задано множество.

Образом множества А при отображении f называется множество всех, являющихся значениями функцииfв точках.

Обозначается .

В частности, , то есть образом множества задания функции является множество ее значений.

Если множество, то множество всех значений аргументах, для которых, называетсяпрообразом множества В при отображении f.

Записать кратко определение прообраза можно так: .

Пример 4 (образы и прообразы множеств при различных отображениях)

1) Множество является образом множествапри отображении функцией

Дирихле; множество является прообразом множествапри отображении той же функцией;

2)

В — это образ множестваА при отображении функцией, A — это прообраз множества B при этом отображении функцией ;

2) найдем образ множества при отображении функцией:

, то есть

—это образ множествапри отображении функцией ;

3) найдем образ множества при отображении функцией.

или— это образ множестваАпри отображении функцией;

4) найдем прообраз множества при отображении функцией:

— это прообраз множестваВпри отображении функцией.

4. Понятие многозначного отображения

Отображениеназываетсямногозначным отображением, еслитакие, что им соответствуют более одного элемента(рис. 32).

Рис. 32

Многозначные функции рассматривать будем пока только в исключительных случаях, поэтому по умолчанию любая функция считается задающей однозначное отображение.

5. Обратное отображение

Пусть , причем, где(рис. 33).

Рис. 33

Функцияназываетсяобратным отображением по отношению к отображению, или— этообратная функция по отношению к функции.

Обратная функция является, вообще говоря, многозначной.

Если отображение является взаимно однозначным, т.е. биективным, то отображениеявляется также взаимно однозначным отображением множестваYна множествоX (рис. 34).

Рис. 34

если — биекция, то— тоже биекция.

В этом случае функцияявляется обратной по отношению к функции, а обе эти функцииfиназываютсявзаимно обратными функциями.

Пример 5 (взаимно обратные функции)

1)		и ;
2)		и .

Подробнее о взаимно обратных функциях изложено в §8 данного конспекта.

6. Суперпозиция отображений (сложная функция)

Если заданы два отображенияи, то отображение, ставящее в соответствие любому элементуединственный элемент, называетсясуперпозицией отображений f и g (другие названия:композиция отображений,сложное отображение).

Обозначение суперпозиции отображений: или.

Иллюстрация к сложному отображению приведена на рис. 35.

Рис. 35

Пример 6 (сложные отображения)

1)

;

2)

Запись сложных отображений как сложных функций:

.

Сложное отображение (сложная функция) может получаться суперпозицией любого количества отображений.

Пример 7 (составление сложных функций)

1) — сложная функция

;

2)

3)

,

7. Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите образ множествапри отображении функцией: 1),; 2),; 3),; 4),;

5) , ; 6) , ;

2. Найдите прообраз множества при отображении функцией: 1),; 2),; 3),; 4),; 5),. 6)

3. Составьте суперпозиции идля заданныхии укажите множество задания и множество значений каждого из составленных отображений: 1),; 2),.

4. Запишите суперпозиции ,,, если,,; укажите отображения множеств, которые они задают.

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. 1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

2. 1) ,; 2); 3); 4); 5); 6).

3. 1) ;; 2); .

4.fsdfsfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfsdfs