выполняемых по формуле метода Эйлера. Эта погрешность будет уменьшаться при уменьшении значения шага интегрирования h.

В учебном пособии [4] кроме алгоритма метода Эйлера рассмотрены алгоритмы других более точных численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.

Применяя численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, мы получаем дискретные решения. Если требуется получить значения интегрируемой функции в точках, не совпадающих с точками дискретного пространства, определённого при постановке задачи численного интегрирования, то необходимо, либо прибегнуть к методам интерполяции по таблице с результатами решения, либо уменьшить шаг интегрирования, приспособив его к требуемой сетке.

6.2. Решение краевой задачи методом конечных разностей

Основные понятия, используемые в постановках краевых задач

В практике строительных расчетов многие математические модели, используемые для расчета конструкций, приводятся к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, имеющим следующий вид:

где x - переменная, определяющая текущее значение координаты исследуемого объекта, p(x), q(x), f(x) – заданные функции.

К примерам задач, приводящих к уравнениям вида (1), можно отнести задачи расчетов различных балочных конструкций.

Для решения задачи, определяемой (20), необходимо задать дополнительные условия, определяющие состояние исследуемого объекта при некоторых заданных значениях координатной переменной x.

Дополнительные условия, определяющие состояние объекта в заданных точках x, называются граничными или краевыми [1, 2, 4]. Таким образом, для нахождения решения уравнения (1) на интервале [a; b] значений аргумента x необходимо определить граничные условия. Например, следующим образом:

7

где Y0 , Yk –фиксированные числовые значения Y0 и Yk , определяющие значения исследуемой координаты.

На конкретном примере рассмотрим алгоритм решения стационарной краевой задачи для объектов, определяемых математическими моделями, представленными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка вида (20) с граничными условиями, задаваемыми в форме (21).

Одним из численных методов, применяемых для решения таких уравнений, является метод конечных разностей, называемый также методом сеток. Основой этого метода является замена непрерывной области пространства изменения аргумента х на дискретное множество – "сетку" точек хi (i=0, 1, 2, ..., n) в которых определяются значения функции y(xi ) [4]. Значение х0=a, а значение хn=b.

При использовании метода конечных разностей решение задачи осуществляется в результате последовательной реализации четырех этапов:

дискретизация области изменения аргумента х; переход от непрерывной дифференциальной математической модели к конечно-разностной модели исследуемого объекта;

оформление разностного аналога краевых условий задачи; решение полученной в результате выполнения первых трех шагов математической системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим последовательно выполнение этих этапов для разработки алгоритма решения конкретной краевой задачи.

На первом этапе для дискретизации области изменения аргумента х интервал [a, b] изменения х разделим на n равных частей. При этом формируется сетка с (n+1) равноотстоящими узлами.

Расстояние между узлами сетки равно h = (b -a )/n (шаг сетки). Значения хi в узлах сетки легко вычисляются по формуле

хi = х0 + i · h (i=0,1,2,. . . ,n)

или по эквивалентной ей формуле

хi = хi-1 + h .

8

Второй этап перехода от непрерывного дифференциального уравнения (1) к конечно-разностной модели реализуется на базе классического определения производной как предела:

производной yi', учитывающие значения функции в двух симметричных относительно хi узлах:

Подставив выражения (23) и (24) в формулу (20), получим:

Очевидно, что формула (25) будет верна только для внутренних узлов хi (i=1,2,…,n-1). Умножим (25) на h2 и приведем подобные члены. В итоге получим

и запишем (26), используя обозначения (27). Отметим, что при этом необходимо изменить знак перед коэффициентом C i .

Ai yi −1 − C i yi + Bi yi +1 = Fi (i =1,2,..., n −1). (28)

Таким образом, мы получили систему уравнений (28), содержащую (n-1) линейное алгебраическое уравнение относительно

(n+1) неизвестных yi (i =0, 1, 2, …,n) .

9

Окончательное оформление системы уравнений выполняется при записи разностного аналога краевых условий задачи. Недостающие уравнения мы получаем из краевых условий:

Полученная система 6-ти линейных алгебраических уравнений имеет трехдиагональную матрицу. В первом уравнении этой системы коэффициенты А0 = 0, С0 = -1, а В0 = 0. В пятом уравнении А5 = 0, С5 = -1, а В5 = 0.Одним из эффективных методов решения систем уравнений такого типа является метод прогонки.

Применение метода прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с трёхдиагональными ленточными матрицами

Полученная нами система уравнений (30) является частным случаем систем уравнений с трехдиагональными ленточными матрицами. Ниже приведена общая форма записи таких систем:

10