Текст

которой степень кинематической неопределимости будет nк = 2. Для той же рамы, но загруженной кососимметричной нагрузкой (рис. 6.25, а), при пред-

ставлении её на основании свойства 2 в виде половины расчётной схемы сте-

пень кинематической неопределимости будет nк = 6 (рис. 6.25, б). Общее ко-

личество неизвестных метода перемещений при симметричном и кососим-

метричных загружениях равно полной степени кинематической неопредели-

мости.

Ещё большее сокращение количества неизвестных можно получить в од-

норолётных рамах любой этажности.

В качестве примера рассмотрим симметричную двухэтажную однопро-

лётную раму (рис. 6.26, а). Степень кинематической неопределимости дан-

ной рамы nк = 6 (рис. 6.26, б).

После разложения нагрузки 2F на основании свойств симметрии имеем:

Таким образом, система канонических уравнений шестого порядка распа-

лась на две подсистемы: второго порядка при симметричном загружении и четвёртого порядка при кососимметричном.

При том же симметричном загружении на половине расчётной схемы

(рис. 6.27, а) также получают систему из двух уравнений, так как для стерж-

ней АC и BD можно использовать таблицы метода перемещений, учитываю-

щие линейную подвижность одного конца стержня относительно другого

(см. п. 6 приложения 1 и п. 5 – 8 приложения 2), Основную систему метода перемещений получают введением двух дополнительных угловых связей

(рис. 6.27, б).

При рассмотрении кососимметричного загружения на половине расчётной схемы (рис. 6.28. а) количество неизвестных по сравнению с рис. 6.21 сни-

жается вдвое, так как в стержнях АB и CD поперечные силы могут быть оп-

ределены из уравнений равновесия, и, следовательно, можно применить ос-

новную систему без постановки линейных связей (рис. 6.28, б).

281

6.6. Понятие о расчёте пространственных рам

При расчёте пространственных рам методом перемещений за неизвестные

принимаются, так же как и для плоских рам, угловые перемещения жёстких узлов и независимые линейные перемещения всех узлов рамы.

Так как в пространственной системе каждый жёсткий узел может иметь повороты в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях, степень кинемати-

ческой неопределимости в этом случае будет определяться по формуле:

Здесь nу – число жёстких узлов расчётной схемы, способных к повороту

при её деформации, а степень линейной подвижности всех узлов схемы nл

определяется как степень свободы шарнирного механизма, получаемого из заданной схемы рамы путём введения во все её узлы сквозных шарниров:

Для получения основной системы во все жёсткие узлы рамы необходимо ввести пространственные «плавающие» защемления, препятствующие пово-

роту узлов относительно трёх координатных осей, и линейные связи, не до-

пускающие линейных перемещений узлов. В общем случае в «плавающих» защемлениях возможно возникновение трёх реактивных моментов, а в ли-

нейных связях – линейных реактивных сил.

Например, для рамы, изображённой на рис. 6.29, а, степень кинематиче-

ской не определимости nк = 3nу + nл = 3·4 + 4 = 16, а ее основная система представлена на рис. 6.29, б.

Канонические уравнения метода перемещения для пространственных рам имеют тот же вид, что и для плоских.

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений строятся эпюры изгибающих моментов от единич-

ных принудительных смещений дополнительных связей и действия внешней нагрузки. Построение эпюр изгибающих моментов, выполняемое на основе

282

таблиц реакций (см. приложения 1 и 2), было показано при расчёте плоских рам.

При принудительном повороте дополнительных угловых связей в некото-

рых стержнях основной системы необходимо учитывать их кручение. Значе-

ния крутящих моментов от единичного поворота угловой связи определяются по формуле, известной из курса сопротивления материалов, при φ =1:

где i – относительная жесткость относительно какой-либо оси поперечного сечения стержня, выбранная в качестве общего множителя при расчёте; EI –

изгибная жёсткость стержня относительно той же оси (i = EI/l).

Для показанной на рис. 6.29, а рамы эпюра M F0 от внешней нагрузки при-

ведена на рис. 6.30, а деформированные состояния основной системы и соот-

ветствующие им эпюры моментов M 20 от двух единичных поворо-

тов во взаимно перпендикулярных плоскостях и одного линейного смещения

– на рис. 6.31.

Значения реакций в дополнительных связях определяют на основании уравнений равновесия для вырезанной угловой связи или части основной системы.

Эпюры изгибающих моментов в заданной расчётной схеме после опреде-

ления неизвестных метода перемещений строят на основании принципа неза-

висимости действия сил:

Эпюры поперечных и продольных сил строятся также, как и при расчёте пространственных рам методом сил. На отдельных этапах расчёта выполня-

283

ются те же проверки, что и при расчёте плоских рам. Основными и достаточ-

ными являются деформационная и статические проверки расчёта.

Пример 6.10. Требуется построить эпюры усилий для пространственной рамы, изображённой на рис. 6.32, а при GIк/EI = 0,5 и Iz = Iy = I. Действую-

щая нагрузка: F = 106 кН, q = 29 кН/м.

Относительные жёсткости стержней рамыследующие:

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости nк = 3, так как узел

B не имеет линейных смещений. Основная система метода перемещений по-

казана на рис. 6.32, б.

При заданной нагрузке, действующей в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, угол поворота в третьей плоскости, перпендикулярной плоско-

стям действия нагрузки Z3 = 0.

2. Канонические уравнения метода перемещений имеют вид:

r11Z1 + r12Z2 + R1F = 0;

r21Z1 + r22Z2 + R2F = 0.

В этих уравнениях, так как перемещения Z1 и Z2 возможны в двух взаимно перпендикулярных плоскостях и независимы друг от друга, коэффициенты r12 = r21 = 0, т.е. можно записать

r11Z1 + R1F = 0;

r22Z2 + R2F = 0.

3. Деформированные схемы основной системы от принудительных пово-

ротов дополнительных связей на угол, равный единице, и соответствующие ей эпюры M10 и M 20 , строим с использованием приложения 1 (рис. 6.33, а и б).

4. Эпюру M F0 в основной системе от действия внешней нагрузки строим с использованием приложения 2 ( рис. 6.34).

284

представим в виде суммы трёх эпюр: MyF, MzF и MкF (рис. 6.36, в – д) в общей системе координат xyz.

8.Проверка равновесия жёсткого узла по полученной эпюре MF показана на рис. 6.36, е.

9.Эпюры QF и NF приведены на рис. 6.36, ж, з.

6.7.Матричная форма метода перемещений

6.7.1. Общие положения

Системы канонических уравнений метода сил (6.5) и (6.7) можно предста-

вить в матричной форме:

285

порядка (n x p); RU – матрица свободных членов порядка (n x p), которая в за-

висимости от вида воздействия (силовое, тепловое или неравномерная осадка опор) будет, соответственно, иметь вид

Значение матрицы неизвестных метода перемещений из матричного урав-

нения (6.18) определяется выражением:

6.7.2. Зависимости между деформациями и перемещениями

Как указывалось ранее, основная система метода перемещений является набором прямолинейных стержней двух типов (см. рис. 6.3). При задании возможных смещений дополнительных связей эти стержни деформируются.

Знаки деформаций и усилий концевых расчетных усилий см. рис. 2.63. Углы поворота указанных сечений отсчитываются от прямой, соединяющей концы стержня, до касательной к сечению в деформированном состоянии. Опор-

286

ным закреплениям стержней, через смещения дополнительных связей основ-

ной системы, могут быть заданы перемещения двух типов: либо поворот за-

щемления, либо линейное смещение одной опоры стержня относительно другой в направлении, перпендикулярном оси стержня (рис. 6. 37, а и б).

Установим связь между смещениями дополнительных связей и углами по-

ворота расчетных сечений (деформациями) на примере дважды кинематиче-

ски неопределимой рамы (рис. 6.38, а).

Для основной системы этой рамы (рис. 6.38, б) на основании принципа не-

зависимости действия сил можно записать, что деформации расчетных сече-

ний будут равны:

Выражение (6.23) устанавливает связь между перемещениями узлов по направлению дополнительных связей и углами поворота расчетных сечений и справедливо для любой расчетной схемы. Матрицу а называют матрицей преобразования деформаций. Ее элементами являются углы поворота расчет-

ных сечений от единичных смещений по направлению дополнительных свя-

зей основной системы. Порядки матриц: v – ( s x p); a – ( s x n); Z – ( n x p).

287

Для рассматриваемой рамы и ее основной системы (см. рис. 6.38, а и б)

при числе расчетных сечений s = 5 и степени кинематической неопределимо-

сти n = nк = 2 матрица а будет иметь вид:

Любую строчку выражения (6.21) по аналогии с (6.23) также можно пред-

ставить в матричном виде:

при g = 1… m, где vg – матрица деформаций стержня расчетной схемы, а ag –

его матрица преобразования деформаций.

6.7.3. Матрицы жесткости прямолинейных стержней постоянного сечения

Рассмотрим стержень расчетной схемы с двумя расчетными сечениями i и j, загруженный произвольной нагрузкой (рис. 6.39, а). В результате деформа-

На основании приложений 1 и 2 для каждого сечения стержня на основа-

нии принципа независимости действия сил можно запишем в развернутой

форме метода перемещений:

Выражение (6.23) представим в матричной форме:

288

Легко заметить, что в выражении (6.24)

Подставив (6.28) в (6.27), получим

или в краткой форме:

Здесь: S0g – матрица усилий в расчетных сечениях основной системы от внешней нагрузки; rg – матрица жесткости стержня с двумя расчетными се-

чениями.

Ее элементами являются усилия в расчетных сечения стержня в основной системе от единичных поворотов этих сечений.

Аналогично можно получить матрицу жесткости для стержня с одним расчетным сечением (см. рис. 6.37, б):

rg = 3i[1]. (6.31)

Сравнивая (6.27) и (6.28) с выражениями (4.47) и (4.49), приходим к выво-

ду, что rg = δ−g1. Эта зависимость позволяет определить одну из матриц, если

известна другая.

6.7.4.Определение усилий в расчетных сечениях и реакций

вдополнительных связях

Выражение (6.29) с учетом (6.24) представим в виде:

289

Формула (6.34) является матричным эквивалентом выражения (6.9) в

обычной форме расчета. Следовательно, элементами матрицы d (s x n) явля-

ются усилия в основной системе от единичного смещения дополнительных

связей.

Представим матрицу d в виде произведения:

где k (s x s) – квазидиагональная матрица жесткости не объединенных между собой элементов расчетной схемы.

Подставим (6.32) в (6.31):

где Sу = kaZ – усилия в расчетных сечениях от действительных смещений по направлению дополнительных связей.

Матричную запись (6.18) системы канонических уравнений на основании их смыслового значения представим в виде R + RU = 0 при R = KZ.

290