Текст

матрицы b0 заполняем по эпюре NF0 1 , используя свойства симметрии расчет-

ной схемы. Последовательность записи усилий в строках матрицах b1 и b0

соответствует последовательности записи стержней в матрице f.

5. Производим транспонирование матрицы b1.

6.Вычисляем промежуточную матрицу

с= b1тf =

11. Определяем усилия в стержнях фермы по (5.29).

251

По полученным значениям матрицы b (по трем точкам – крайние точки нулевые) легко построить линию влияния усилия для любого стержня фер-

мы. Но в этом нет необходимости, так как от любой комбинации нагрузок усилия могут быть определены из выражения S = bP.

Пример 5.16. Требуется построить линии влияния усилий в сечении k и

опорной реакции RB для неразрезной балки, изображенной на рис. 5.49, а.

Решение. 1. Степень статической неопределимости балки nc =1. Основная система метода сил показана на рис. 5.49, б. Ездовой пояс балки состоит из трех участков: первого и второго пролетов и консоли. Исходя из этого коли-

чество расчетных сечений s = 3, количество участков, для которых необхо-

димо составить матрицы податливости, m =2 , число вариантов загружений p

=3.

2. Определяем матрицы податливости отдельных участков расчетной схе-

мы: для участка 1 – по (4.49); для участка 2-3 – по (4.47).

252

3. Составляем квазидиагональную матрицу податливости не связанных между собой элементов. Размер матрицы (s x s)=(3 x 3) обусловлен числом расчетных сечений.

5. Составляем матрицы усилий в основной системе.

Для данного примера степень статической неопределимости nc = 1, число ва-

риантов загружений p = 3. Следовательно, порядок матрицы b1 будет (s x nс) = (5 х 1), а порядок матрицы b0 – ( s x p) = (3 x 3).

7. Вычисляем матрицу коэффициента при неизвестном по (5.26).

8. Производим обращение матрицы D11.

9. Вычисляем матрицу влияния свободных членов D1F по (5.28).

253

10. Определяем значения неизвестного по (5.27).

В выражения для X1 подставляем значения u и v для каждого пролета (с

шагом 0,25) и x для консоли и строим линию X1, являющегося изгибающим моментом над опорой В (рис. 5.51, а).

11. На основании (5.35) строим линию влияния поперечной силы Qk:

254

Слагаемые приведенного выражения и результат сложения – л. вл. RB, по-

казаны на рис. 5.52.

Контрольные вопросы

1.Какие расчетные схемы называются статически неопределимыми?

2.Что называется степенью статической неопределимости?

3.Как может быть определена степень статической неопределимости пло-

ских расчетных схем?

4.Сформулируйте основные свойства статически неопределимых систем.

5.Какая расчетная схема называется основной системой метода сил?

6.Какие требования предъявляются к основной системе метода сил?

7.Как получить из заданной статически неопределимой расчетной схемы основную систему метода сил?

8.Сформулируйте смысл канонических уравнений метода сил.

9.Какой принцип строительной механики положен в основу определения усилий в статически неопределимой расчетной схеме?

10.Каков порядок расчета методом сил при действии внешней нагрузки для балок и рам, комбинированных расчетных схем, ферм?

11.Как зависят усилия в стержнях статически неопределимой расчетной схемы от их жесткости?

12.Какие Вы знаете проверки расчета статически неопределимых систем методом сил?

13.Как в канонических уравнениях метода сил учитывается влияние на-

чальных деформаций?

14. От каких параметров зависят усилия в статически неопределимой рас-

четной схеме при наличии начальных деформаций?

15.Какие расчетные схемы называются симметричными?

16.Сформулируйте основные свойства симметричных расчетных схем.

255

17. Какие статические и кинематические факторы на оси симметрии рас-

четной схемы относятся к симметричным, а какие – к кососимметричным?

18.Какие способы упрощения расчета симметричных расчетных схем Вы знаете? Дайте их характеристики.

19.Как определяется степень статической неопределимости пространст-

венных рам?

20. В чем состоят особенности расчета пространственных рам методом сил?

21..Запишите матричный алгоритм расчета статически неопределимых систем методом сил и дайте характеристики всем входящим в него матрицам.

22..Какие матрицы являются исходными для матричной формы метода сил и как определяется их порядок?

23. Сформулируйте принципы построения линий влияния усилий в сече-

ниях статически неопределимых расчетных схем на основе матричной фор-

мы метода сил.

256

Глава 6

МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

6.1. Основные положения. Степень кинематической неопределимости

Метод перемещений – это второй основной классический метод расчёта статически неопределимых систем. Основными неизвестными в этом методе являются угловые и линейные смещения узлов расчётной схемы (рис. 6.1),

что и определило его название. Во многих случаях метод перемещений явля-

ется эффективнее метода сил.

Рассмотрим деформированное состояние статически неопределимой рамы

(см. рис. 6.1) при действии внешней нагрузки.

Для упрощения расчёта используются общепринятые ранее сформулиро-

ванные допущения о пренебрежении продольными деформациями в изги-

баемых стержнях и о малости деформаций по сравнению с размерами соору-

жения. В силу этих допущений жёсткие узлы рассматриваемой рамы остают-

ся прямыми, горизонтальные смещения узлов C и D считаются одинаковыми,

углы поворота жёстких узлов в силу их малости определяются по тангенсу угла, пренебрегают сближением концов стержней при их и изгибе (например,

считают, что узлы С и D по вертикали не перемещаются).

Для того чтобы применить метод перемещений, необходимо знать сте-

пень упругой подвижности узлов расчётной схемы – степень кинематиче-

ской неопределимости, включающую количество независимых угловых и линейных перемещений всех узлов:

nк = nу + nл, (6.1)

где nу – число жёстких узлов расчётной схемы, способных к повороту при её деформации; nл – степень линейной подвижности всех узлов схемы.

Применение формулы (6.1) покажем на примере рамы, изображённой на рис. 6.2, а. Рама имеет как полностью жёсткие узлы, так и комбинированные.

Число nу включает в себя лишь жёсткие соединения стержней. Кроме того,

257

узлами считают места ступенчатого изменения жёсткостных характеристик

(узел А). Ригель ВС в представленной схеме показан абсолютно жёстким, т.е.

не изгибаемым, поэтому узлы В и С не способны к повороту. Все жёсткие узлы, способные к повороту при деформации рассматриваемой рамы отмече-

ны пунктиром на рис. 6.2, б. Таким образом, для данной рамы nу = 6.

Степень линейной подвижности можно определить как степень свободы шарнирного механизма, полученного из заданной схемы рамы путём введе-

ния сквозных шарниров во все её узлы, включая опорные:

nл =W = 2У – ( Сф + Соп). (6.2)

Для рассматриваемой рамы (рис. 6.2, в): У = 13, Сф = 14, Соп = 8, поэтому nл = 2·13 – (14 + 8) = 4, и степень кинематической неопределимости nк = nу + nл = 6 + 4 = 10.

В случае простых схем (см. рис. 6.1) число линейных смещений узлов оп-

ределяется непосредственно из анализа возможной схемы деформированного состояния, и использование формулы (6.2) не обязательно.

В отличие от метода сил, рассмотренного в предыдущей главе, основную систему метода перемещений получают не удалением, а введением дополни-

тельных связей. Дополнительные связи вводятся по направлению возможных смещений узлов расчётной схемы как угловых, так и линейных. В результате все узлы расчётной схемы становятся неподвижными.

Основную систему, получаемую введением дополнительных связей по направлению возможных смещений узлов, называют кинематически опреде-

лимой.

В качестве дополнительных применяются жёсткие линейные связи, уст-

раняющие линейные перемещения узлов, и «плавающие» заделки, устра-

няющие повороты узлов. Термин «плавающая» заделка означает, что данная заделка может иметь линейные смещения, т.е. свободно перемещаться вместе с узлом, но не может поворачиваться до тех пор, пока ей не будет принуди-

тельно сообщен поворот. В соответствии с изложенным в качестве неизвест-

258

ных принимаются линейные смещения и углы поворота по направлению вве-

дённых дополнительных связей.

Для рамы, приведённой на рис. 6.2, а, основная система показана на рис. 6.2, г.

В отличие от основной системы метода сил кинематически определимая основная система единственна, т.е. в ней может меняться лишь место уста-

новки какой-либо линейной связи. Например, дополнительная горизонталь-

ная связь 8 на рис. 6.2, г может быть установлена в любом из узлов первого этажа рамы.

В результате введения дополнительных связей расчётная схема превраща-

ется в набор отдельных прямолинейных стержней постоянного сечения двух типов (рис. 6.3). Эти стержни являются простыми статически неопредели-

мыми однопролётными балками, которые могут быть рассчитаны от любого воздействия методом сил. Результаты таких расчётов в общем виде обычно сводятся в специальные таблицы, называемые таблицами реакций (приложе-

ния 1 и 2). В таблицах приложения 1 все значения реакций выражены через отношение жёсткости стержня при изгибе к его длине (i =EI/l ), называемому

относительной жёсткостью стержня.

6.2. Идея метода перемещений. Система канонических уравнений

Для описания идеи метода рассмотрим простейшую расчётную схему – двухпролётную одноэтажную несвободную раму, т.е. раму, не имеющую ли-

нейных смещений узлов (рис. 6.4, а). Рама загружена произвольной нагруз-

кой и является дважды кинематически неопределимой.

Предположим, что узлы A и B при деформации рамы под нагрузкой будут поворачиваться на какие-то углы Z1 и Z2.

Введём дополнительные угловые связи в узлы A и B (рис. 6.4, б). Полу-

ченная схема является кинематически определимой и называется основной системой метода перемещений.

259

Для полученной основной системы воспользуемся принципом незави-

симости действия сил и рассмотрим следующие воздействия: состояние 1 от принудительный поворот первой связи на угол Z1 – состояние 1 (рис. 6.4, в); с

от принудительный поворот второй связи на угол Z2 – состояние 2 (рис. 6.4,

г) и действие внешней нагрузки – состояние F (рис. 6.4, д).

Во всех перечисленных состояниях в связях, введённых в узлы А и B, поя-

вятся реакции, которые будем считать положительными, если их направле-

ние совпадает с направление принудительного смещения связи. Сумма реак-

ций по каждому из указанных направлений даст полные реакции во введён-

ных дополнительных связях

RA =R11 + R12 + R1F;

RB =R21 + R22 + R2F .

Чтобы основная система соответствовала по своим статическим свойствам

заданной расчётной схеме, очевидно, необходимо выполнения условий

Для выражения перемещений, входящих в (6.3) воспользуемся зависи-

мостью (4.20) и запишем

R11 = r11Z1; R12 = r12Z2; R21 = r21Z1; R22 = r22Z2.

Подставив эти выражения в (6.3), получим систему

r21Z1 + r22Z2 + R2F = 0,

называемую системой канонических уравнений метода перемещений.

Как и (6.3), система канонических уравнений метода перемещений имеет следующий статический смысл: сумма реакций в дополнительных связях от

смещения этих связей и внешнего воздействия равна нулю.

Приведённый вывод системы канонических уравнений справедлив для

любой расчётной схемы с любой степенью кинематической неопределимо-

260