examples_of_typical_problems
.pdfПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1 |
0 |
3 |
|
1 |
|
1 |
|
Пример. Даны матрицы А = 2 |
4 |
1 |
, В = |
3 |
, С = |
2 |
и число = 2. Найти |
1 |
4 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
АТВ+ С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 1 |
2 3 |
1 2 |
9 |
|
AT = 0 4 |
|
4 ; |
|
|
ATB = 0 4 |
|
4 |
3 = 0 1 4 3 4 2 = 4 ; |
|||||||||||||
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
3 1 |
1 3 |
2 2 |
10 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
C = 4 ; |
|
|
|
|
АТВ+ С = 4 + 4 = 8 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти произведение матриц А = |
4 |
и В = |
2 |
|
4 |
1 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2 |
1 4 |
1 1 |
|
|
2 |
|
4 |
1 |
|
|
||
|
|
|
АВ = 4 2 4 1 = 4 2 4 4 4 1 |
|
|
8 16 4 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 2 |
3 4 |
3 1 |
|
|
6 |
12 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВА = 2 |
4 |
1 |
4 |
= 2 1 + 4 4 + 1 3 = 2 + 16 + 3 = 21. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти произведение матриц А= 1 |
2 |
, В = |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
АВ = |
1 |
2 |
3 |
4 |
= |
3 10 |
4 |
12 = |
13 |
16 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Дана матрица А = |
3 |
2 |
, найти А3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 = АА = |
3 2 3 2 = |
11 14 ; |
|
|
A3 = |
3 2 11 14 |
= |
47 78 . |
|
||||||||||||
|
1 |
4 |
1 |
4 |
7 |
18 |
|
|
|
|
1 |
4 |
7 |
|
18 |
|
39 |
86 |
|
||
Отметим, что матрицы |
3 |
2 |
и |
11 |
14 |
являются перестановочными |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
7 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить определитель матрицы А = |
0 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( |
|
2 1 |
|
1 3) |
2(0 1 |
3 3) |
(0 1 3 2) |
||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= -5 + 18 + 6 = 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пример:. Даны матрицы А = |
1 |
|
2 , В = |
5 |
|
2 . Найти det (AB). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; |
|
|
|
|
|
det B = 15 – 2 = 13; |
|
det (AB) = det A det B = -26. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2- й способ: AB = |
1 5 |
|
2 1 |
1 2 |
2 |
3 |
|
|
|
7 |
|
8 |
|
, |
det (AB) = 7 18 - 8 19 = 126 – |
||||||||||||||||||||||||||||
3 5 |
|
4 1 |
3 2 |
4 3 |
|
|
|
19 |
18 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
– 152 = -26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример. |
|
Вычислить определитель |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -1 |
3 2 1 |
3 |
0 3 1 |
4 |
0 3 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
2 |
1 |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
|
1 |
|
= |
0 |
|
3 |
|
|
|
1 |
= 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
3 |
2 |
= |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
2 |
= 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ
Пример. Определить ранг матрицы.
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
1 |
5 |
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
, |
|
11 10 1 |
0 |
RgA = 2. |
|||||||||
|
2 |
0 |
0 |
0 |
11 |
|
2 |
11 |
|
2 |
11 |
|||||||||
2 |
0 |
0 |
0 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: Определить ранг матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
5 |
7 |
|
4 |
8 |
12 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
, |
3 |
2 1 0 |
Rg = 2. |
||||||
1 |
3 |
5 |
|
1 |
3 |
5 |
1 |
3 |
|
5 |
1 |
3 |
5 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Определить ранг матрицы.
1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
4 |
2 |
6 |
8 |
, |
4 6 |
2 0. Rg = 2. |
|||||||
1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
3 |
4 |
2 |
6 |
8 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ СИСТМЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пример. Найти решение системы уравнений:
|
|
|
|
5x |
y |
z |
0 |
|
|
|
|
x |
2 y |
3z |
14 |
|
|
|
|
4x |
3y |
2z |
16 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
= |
1 |
2 |
3 |
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30; |
|||
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
1 = |
14 |
2 |
3 |
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. |
|
16 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
x1 = 1/ = 1;
|
5 |
0 |
1 |
|
2 = |
1 |
14 |
3 |
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60. |
|
4 |
16 |
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 = 2/ = 2;
4
|
|
5 |
1 |
0 |
|
|
|
|
3 = |
|
1 |
2 |
14 |
|
= 5( 32 – 42) |
+ (16 – 56) = -50 – 40 = -90. |
|
|
|
4 |
3 |
16 |
|
|
|
|
x3 = 3/ = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным |
||||||||
методом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если система |
однородна, |
т.е. bi = 0, |
то при |
0 система имеет единственное |
нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
x 3y 6z 12
3x 2 y 5z 10; |
Ответ: x = 0; y = 0; z = -2. |
2x 5y 3z 6
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
3x2 |
|
5x3 |
7x4 |
9x5 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
2x2 |
|
3x3 |
4x4 |
5x5 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
11x2 |
|
12x3 |
25x4 |
22x5 |
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
5 |
7 |
|
9 |
|
1 |
|
3 |
|
5 |
7 |
9 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
|
|
A = 1 |
2 3 |
4 5 ~ 3 |
9 15 21 27 ~ 1 |
3 5 7 9 ~ |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
11 |
12 |
25 |
22 |
|
2 |
|
11 |
|
12 |
25 |
22 |
2 |
11 |
12 |
25 |
22 |
||
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
6 |
5 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
~ |
2 |
11 |
12 |
25 |
22 . |
|
|
|
|
|
2 |
11 |
|
RgA = 2. |
|
|
||||||
|
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
1 |
|
1 |
3 |
5 |
|
7 |
9 |
1 |
|
|
|
|
|
||
A* = |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
~ |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
RgA* = 3. |
|
|||||
|
|
2 |
11 |
12 |
25 |
22 |
4 |
|
2 |
11 |
12 |
25 |
22 |
4 |
|
|
|
|
|
Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
x1 |
4x2 |
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
3x1 |
2x2 |
4 |
3 |
2 |
|
1 |
4 |
|
|
|
|||||||
7x1 |
10x2 |
12 |
А = 7 |
10 |
; |
= 2 + 12 = 14 0; RgA = 2; |
||
5x1 |
6x2 |
8 |
5 |
6 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
3x1 |
16x2 |
5 |
3 |
16 |
|
|
|
|
5
1 |
4 |
1 |
|
1 |
4 |
1 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
4 |
|
0 |
14 |
7 |
0 |
2 |
1 |
|
1 |
4 |
1 |
|
A* = 7 |
10 12 ~ 0 38 19 |
~ 0 2 |
1 |
~ |
||||||||||
5 |
6 |
8 |
|
0 |
26 |
13 |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
16 |
5 |
|
0 |
4 |
2 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
0. |
RgA* = 2. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Система совместна. Решения: x1 = 1; |
x2 =1/2. |
|
|
|
|
|
|
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
2x1 |
x2 |
x3 |
5 |
x1 |
2x2 |
3x3 |
3 |
7x1 |
x2 |
x3 |
10 |
Составим расширенную матрицу системы.
2 |
1 |
1 |
5 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
3 |
А* = 1 |
2 3 |
3 ~ 2 |
1 |
1 |
5 ~ 0 |
5 |
7 11 ~ 0 |
5 |
7 |
11 |
|||||
7 |
1 |
1 |
10 |
7 |
1 |
1 |
10 |
0 |
15 |
22 |
31 |
0 |
0 |
1 |
2 |
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
x1 |
2x2 |
3x3 |
3 |
5x2 |
7x3 |
11 |
, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1. |
x3 2
Пример. Решить систему методом Гаусса.
5x y z 0
x 2 y 3z 14 4x 3y 2z 16
Составим расширенную матрицу системы.
5 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
14 |
1 |
2 |
3 |
14 |
1 |
2 |
3 |
14 |
1 |
2 |
3 |
14 |
~ 4 |
3 |
2 |
16 |
~ 0 |
5 |
10 |
40 |
~ 0 |
5 10 |
40 |
|
4 |
3 |
2 |
16 |
5 |
1 |
1 |
0 |
0 |
11 |
16 |
70 |
0 |
0 |
6 |
18 |
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
x 2 y 3z 14
5y 10z 40 , откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
6z 18
6
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.
Для самостоятельного решения:
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
4 |
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
2x4 |
1 |
|
x1 |
x3 |
2x4 |
6 |
|
Ответ: {1, 2, 3, 4}. |
|
|
||||
3x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
0 |
|
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример. Найти (5 a |
|
|
|
+ 3 b )(2 a - b ), если |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
a |
b. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 10 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
40 27 13 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 a a |
- 5 a b + 6 a b - 3 b b |
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
т.к. a a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
4, b b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
9, a b 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пример. Найти угол между векторами a и b , если a |
|
i |
2 j |
3k , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b |
|
6i |
|
|
4 j |
|
|
2k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a = (1, 2, 3), |
|
|
|
b = (6, 4, -2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b = 6 + 8 – 6 = 8: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
14; |
|
|
|
|
|
36 16 |
4 |
|
|
|
|
56 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
= |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
56 |
|
|
|
|
2 |
|
14 |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
скалярное |
|
|
произведение |
|
|
|
- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 a |
|
2 b ) (5 a |
- 6 b ), если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4, |
|
|
|
|
|
6, |
|
|
|
|
|
/ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
а^ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
15 a |
a |
- 18 a |
|
|
b - 10 a |
b + 12 b |
b |
= 15 |
a |
|
|
|
28 |
a |
b |
|
cos |
|
|
12 |
b |
|
15 16 |
28 |
4 6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 12 36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пример. Найти угол между векторами a и b , если a |
|
3i |
4 j |
5k , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b |
|
4i |
|
|
5 j |
|
|
3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a = (3, 4, 5), |
|
|
|
b = (4, 5, -3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b = 12 + 20 - 15 =17 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
|
9 |
16 |
25 |
50; |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
16 |
|
25 |
|
|
|
9 |
|
50 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
= |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
50 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярны. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пример. При каком m векторы a |
mi |
|
|
j и b |
3i |
3 j |
4k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = (m, 1, 0); |
|
b = (3, -3, -4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3m |
3 0; |
|
m |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a |
3b |
4c |
и 5a |
6b |
7c , если |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1, |
b |
2, |
c |
3, a^ b a^ c b ^ c |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( 2a 3b 4c )( 5a 6b 7c ) = 10a a 12a b 14a c 15a b 18b b 21b c |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
20c |
a |
24b |
c |
28c c |
|
10 a |
a |
27a |
b |
|
34a |
c |
45b |
c |
|
18b |
b |
28c c = 10 + |
|
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
ВЕКТОРОНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
|
|
|
|
|
AC |
(0 |
|
2;1 |
2;0 |
|
|
2) |
( 2; 1; |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
(4 |
|
2;0 |
2;3 |
2) |
(2; |
2;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
AC AB |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
i |
|
2 1 |
|
j |
|
2 |
1 |
|
k |
|
2 |
|
|
2 |
|
i ( 1 4) j ( 2 4) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k (4 |
|
2) |
|
5i |
|
2 j |
|
6k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
65 |
|
(ед2). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
AC |
AB |
|
25 |
4 |
36 |
|
|
65. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Пример. |
Доказать, |
что векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
7i |
3 j |
|
2k , |
b |
|
3i |
7 j |
8k |
и c |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||
компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
8 ~ |
|
0 |
|
|
4 |
|
5 , т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
3 |
|
2 |
|
0 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Пример. |
|
Найти |
площадь |
параллелограмма, |
построенного |
на |
векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
300. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a |
3b; |
3a |
|
b , если |
|
a |
|
b |
|
|
a^ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(a 3b) (3a b) 3a a a b 9b a 3b b |
b a 9b a 8b a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin 300 |
4 (ед2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S |
8 |
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
AB ( 2; 6;1)
Найдем координаты векторов: AC (4; 3; 2)
AD ( 4; 2;2)
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
|
2 |
6 |
1 |
|
2 |
6 |
1 |
|
0 |
6 |
1 |
|
AB AC AD |
4 |
3 |
2 |
|
0 |
15 |
0 |
|
0 |
15 |
0 |
0 , |
|
4 |
2 |
2 |
|
0 |
10 |
0 |
|
0 |
10 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
|
|
|
|
|
|
BA |
( 2; |
3; |
|
4) |
|||
Найдем координаты векторов: BD |
(1;4; |
3) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
BC |
(4; 1; 2) |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
V |
|
1 |
4 |
3 |
|
|
( 2( 8 3) 3( 2 12) 4( 1 16)) |
||||||
6 |
|
6 |
|
||||||||||
Объем пирамиды |
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
(22 |
30 |
68) |
20(ед3 ) |
||||||||
6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
ij k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
BD |
BC |
|
1 |
|
|
4 |
3 |
i ( |
8 3) |
|
j ( 2 |
12) k ( |
1 16) 11i |
10 j |
17k . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
BD |
BC |
|
|
|
112 |
102 |
172 |
121 |
100 |
289 |
510 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Sосн = |
|
510 / 2 (ед2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Т.к. V = |
|
S |
осн |
|
h |
; |
h |
3V |
|
|
120 |
|
|
4 |
510 |
. (ед) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
Sосн |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
510 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
|
|
|
|
|
|
|
OP (4; 3;12); |
OP |
16 9 144 169 13 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
N (134 ; 133 ;1213)
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
4 |
|
(x |
4) |
|
|
3 |
( y |
3) |
12 |
(z |
12) |
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13 |
|
|
13 |
13 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
x |
16 |
|
|
3 |
y |
9 |
|
|
12 |
z |
144 |
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13 |
13 |
|
|
13 |
13 |
|
13 |
13 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
x |
|
3 |
|
y |
|
|
12 |
z |
169 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13 |
13 |
|
13 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4x |
|
3y |
12z |
169 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 N (3;2; 1) параллелен искомой
плоскости. Получаем:
|
x |
2 |
y |
0 |
z |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
0 |
3 |
1 |
|
0 |
||
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
(x |
2)(1 |
8) y(1 |
12) |
(z 1)( 2 3) 0 |
||||||
|
7(x |
2) |
11y |
|
(z |
1) |
0 |
|||
|
7x |
14 |
11y |
|
z |
1 |
|
0 |
||
|
7x |
11y |
z |
15 |
0 |
|
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
10