
- •Г. В. Красоленко, н. В. Сванидзе, г. В. Якунина Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •Введение
- •Фамилия, имя, отчество
- •Примерный вариант контрольной работы № 5
- •Решение задачи № 1
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 3
- •Решение задачи № 4
- •Решение задачи № 5
- •Примерный вариант контрольной работы № 6 по теме « Ряды»
- •Решение задачи № 1
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 3
- •Решение задачи № 4
- •Решение задачи № 5
- •Контрольная работа № 5 по теме « Обыкновенные дифференциальные уравнения»
- •Контрольная работа № 6 по теме « Ряды»
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Решение задачи № 5
Эту
задачу можно решать разными способами
Мы рассмотрим только один из них. По
условию задачи предполагается, что
решение
дифференциального уравнения можно
разложить в степенной ряд с центром в
В силу теоремы единственности разложения
функции в степенной ряд, этот ряд есть
ряд Тейлора.
Так
как требуется написать разложение
в ряд до членов порядка
включительно, то это означает, что в
качестве приближенного решения задачи
Коши берем многочлен Тейлора четвертой
степени функции
в точке
Напомним,
что частичные
суммы
ряда Тейлора называют многочленами
Тейлора
функция
в точке
.
Первые два коэффициента определяются из начальных условий
Коэффициент
находим из уравнения
Подставляя в него начальные условия,
получаем
Для
вычисления производных
и
продифференцируем уравнение
по
переменной
два раза, используя правило дифференцирования
сложной функции,
Вычислим
их значения при
Учитывая, что
получаем
Подставим
найденные значения производных в
многочлен Тейлора
В результате получим
Ответ.
Контрольная работа № 5 по теме « Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Вариант № 1
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 2
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 3
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 4
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 5
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 6
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 7
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 8
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 9
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Вариант № 10
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Контрольная работа № 6 по теме « Ряды»
Вариант № 1
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 2
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 3
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 4
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 5
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 6
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 7
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 8
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 9
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).
Вариант № 10
Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:
Разложить функцию
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:
(до
членов порядка
включительно).