Решение задачи № 4

Найдем общее решение уравнения

(14)

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение ищем в виде . Неоднородному уравнению (14) соответствует однородное уравнение

. (15)

Функция является решением уравнения (15), еслиесть корень характеристического уравнения

(16)

Оно имеет корни (вещественные и различные). Следовательно, общее решение однородного уравнения (15) имеет вид

.

Построим теперь частное решение уравнения (14). В нашем случае правая часть уравнения (14)

Сравнивая два последних выражения, получаем и – многочлен первой степени, .

Поскольку контрольное число совпадает с корнем характеристического уравнения(– простой корень характеристического уравнения (16)), частное решение уравнения (14) следует искать в виде

где коэффициенты иподлежат определению.

Чтобы найти и, подставими его производные в исходное уравнение (14). Здесь при вычисленииудобно воспользоваться формулой.

Итак,

и левая часть уравнения (14) принимает вид

В результате для определения коэффициентов иполучаем уравнение

обе части которого можно сократить на множитель .

Коэффициенты идолжны быть такими, чтобы обе части уравнения (14) были тождественно равны друг другу, т.е.

. (17)

Тождество (17) выполняется тогда и только тогда, когда слева и справа стоят одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях :

Следовательно, ,, а

Таким образом, общее решение уравнения (14) имеет вид

Ответ.

Общим решением уравнения (14) является функция

определенная на интервале

2. Рассмотрим решение линейного неоднородного уравнения (1) со специальной правой частью

Предполагается, что контрольные числа мнимые, т. е., аи– вещественные числа, заданные многочлены нулевой степени (см. формулу (2)).

Уравнение (1) в этом случае принимает вид

(18)

Уравнению (18) соответствует однородное уравнение

с характеристическим уравнением

. (19)

Пусть иего корни.

Имеет место следующее утверждение (см. [2]).

Утверждение 4.

Частное решение уравнения (18) следует искать в виде:

1. если контрольные числа не являются корнями характеристического уравнения (19), т.е., то

где и– неизвестные числа, подлежащие дальнейшему определению;

2. если контрольные числа являются корнями характеристического уравнения (19), т.е., то

Заметим, что искомое частное решение всегда содержит оба слагаемых вне зависимости от того, содержит ли функция, стоящая в правой части уравнения (18), одновременнои.

Числа иопределяются непосредственной подстановкой решенияи его производных в уравнение (18).

Для того чтобы уравнение превратилось в тождество, приравняем коэффициенты при ив его левой и правой частях.

В результате получим систему линейных уравнений для нахождения и.

Решение задачи № 5

Решить задачу Коши:

(20)

(21)

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его общее решение ищем в виде .

Неоднородному уравнению (20) соответствует однородное уравнение

(22)

Функция является решением уравнения (22) в том случае, еслиесть корень характеристического уравнения

(23)

Оно имеет два комплексно сопряженных корня

т.е. , гдеи.

Следовательно, общее решение однородного уравнения (22) в соответствии с формулой (11) имеет вид

Построим теперь частное решение уравнения (20).

Для уравнения (20)

Отсюда имеем ,,и.

Частное решение следует искать в виде

поскольку контрольные числа не совпадают с корнямихарактеристического уравнения (23).

Коэффициенты иподлежат определению.

Вычислим первую и вторую производные функции

После подстановки ,ив левую часть (20) имеем:

Следовательно, идолжны обеспечивать выполнение тождества

Отсюда, приравнивая коэффициенты при ив его левой и правой частях, получим систему линейных уравнений с двумя неизвестнымии:

Решая эту систему, находим

Общее решение уравнения (20) имеет вид

(24)

Найдем теперь значения постоянных и, при которых выполняются начальные условия (21). Согласно первому из них

откуда .

Продифференцируем общее решение (24)

Согласно второму из равенств (21) имеем

откуда найдем .

Подставив найденные значения ив общее решение (24), получаем искомое частное решение

Ответ.

Решением задачи Коши (20),(21) является функция

определенная на интервале