Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи22

Рис. 7.2. Балка с одной степенью

свободы под действием

возмущающей силы

На балку с сосредоточенной массой действует возмущающая нагрузка(рис. 7.2). Требуется построить эпюру изгибающих моментов от динамического действия нагрузки. Примем следующие исходные данные:кг, жесткость балки кН×м², ее длина м, отношение частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний, амплитудное значение возмущающей нагрузкикН.

Решение

Найдем частоту свободных колебаний по формуле (7.1). Перемещение ищем методом Максвелла – Мора

.

Для построения эпюры изгибающих моментов приложим в точке, где расположена сосредоточенная масса, единичную силу по направлению возможного перемещения массы. В данном примере сосредоточенная масса может перемещаться только по вертикали и эпюра моментов от единичной силы показана на рис. 7.3, а. Интегрирование формулы Максвелла – Мора по правилу Верещагина дает:

=.

Рис. 7.3. Эпюры изгибающих моментов:

а– от единичной силы;

б – от амплитудного значения вынуждающей нагрузки F

Обратите внимание на единицы измерения величины . Подставимв формулу (7.1). Вспомним, что 1 кН = 10³ Н = 10³ кг×м / сек², после подстановки массы в "кг" получим круговую частоту свободных колебаний в "сек^–1":

.

Теперь определим амплитудное значение силы инерции, используя формулу (7.2). Чтобы воспользоваться этой формулой найдем величину – перемещения по направлению движения массы от амплитудного значения силы. В соответствии с методом Максвелла – Мора это перемещение

.

Эпюра от действия амплитудного значенияпоказана на рис. 7.3,б. Перемножая эпюры ипо правилу Верещагина найдем

.

Частота вынужденных колебаний согласно условию

.

Тогда амплитудное значение силы инерции по формуле (7.2)

.

Окончательная эпюра изгибающих моментов от динамического действия нагрузки, построенная с учетом формулы (7.3), показана на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Эпюра изгибающих моментов от

динамического действия нагрузки

7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения

Влияние ударной нагрузки на напряжения и деформации конструкции оценивается с помощью динамического коэффициента , который можно определить по следующей формуле:

, (7.4)

где h – высота падения груза, – вертикальное перемещение точки приложения груза при статическом его приложении.

Формула (7.4) является достаточно грубой оценкой влияния ударной нагрузки, т.к. она получена с использованием ряда упрощающих задачу допущений. Одним из этих допущений является предположение о том, что материал конструкции в момент удара работает в упругой стадии (подчиняется закону Гука). Зная динамический коэффициент, можно найти динамические (возникающие под действием ударной нагрузки) напряжения в конструкции по формуле

, (7.5)

где – напряжения от статического (медленного) приложения нагрузки. Враз (справедлив закон Гука) увеличиваются и деформации конструкции от ударной нагрузки по сравнению со статическими деформациями.

В процессе вычисления напряжений по (7.5) необходимо следить, чтобы полученные динамические напряжения не превосходили величину предела пропорциональности материала, т.к. в этом случае пользоваться формулой (7.4) нельзя. Если все же динамические напряжения оказались больше предела пропорциональности, необходимо предусмотреть конструктивные меры по увеличению статического перемещения, например, сделать опорные закрепления балки (рамы) податливыми, поставив специальные прокладки. Увеличение приведет к уменьшению динамического коэффициента²³.