10. Разные задачи.

Ниже приведены задачи, решение которых требует применения нескольких приемов интегрирования. Почти во всех этих задачах нужно сначала угадать выгодную замену переменной, которая привела бы в итоге к какой-нибудь стандартной формуле.

Пример 10.1.

. Сделаем замену переменной. Тогда

. Снова введем новую переменную . Тогда. Возвращаясь к старой переменной по формуле, получим

Пример 10.2.

Пример 10.3.

Пример 10.4. .

Пример 10.5. . Введем новую переменнуюи получим(см. пример 6.2. из раздела 6 интегрирование по частям). Тогда

Пример 10.6. . Введем новую переменнуюи найдем. Получим

Пример 10.7. . Сделаем замену переменной. Тогда. Получим

Пример 10.8.

Пример 10.9. . Введем новую переменнуюи найдем. Тогда

Пример 10.10. . Сделаем заменуи найдем. Получим

. Представим правильную дробь как сумму простейших дробей:

.

Для нахождения неизвестных коэффициентов выпишем тождественное равенство исходного и вновь полученного числителей:

.

Придадим переменной значение . Тогда, откуда. Затем притождество примет вид:, откуда. Тогда

Пример 10.11. . Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Положим. Найдеми. Тогда

Пример 10.12. . Применим здесь формулу интегрирования по частям, полагая. Тогда. Отсюда . Выделим в неправильной рациональной дроби целую часть делением числителя на знаменатель.

Получим

.

Пример 10.13.

Здесь мы заметили, что .

Пример 10.14. . Введем новую переменную. Тогда. Получим. Воспользуемся формулами. Тогда

Пример 10.15. . Введем новую переменную. Найдем. Тогда, откуда. Таким образом. Получили интеграл, вычисленный ранее в примере 6.9.

Пример 10.16. . Сделаем замену переменной. Тогдаи. Разложим правильную дробь в сумму простейших дробей:

.

Из тождественного равенства числителей найдем неизвестные буквенные коэффициенты.

При тождество принимает вид, откуда.

При тождество принимает вид, откуда.

Отсюда

Предложим другое решение, которое использует интеграл, взятый в примере 5.8.

Пример 10.17. . Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби.

Рассмотрим тождественное равенство исходного числителя и вновь полученного

.

Положим в нем последовательно , а затем приравняем друг другу коэффициенты при. Тогда получим систему уравнений для нахождения неизвестных буквенных коэффициентов:

.

Решая ее, найдем . Тогда

Вычислим отдельно . Сделаем замену. Найдем. Получим

. Тогда

Пример 10.18. . Сделаем замену и найдем. Получим. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим из нее целую часть.

Тогда .

Последний интеграл взят в предыдущем примере 10.17. Воспользуемся этим результатом.

Затем вернемся к старой переменной .

Пример 10.19. . Сделаем замену переменной . При этом. Тогда

Пример 10.20. Вычислить .

Пусть .

При :

Рекомендуемая литература

1. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: «Наука», 1964.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Изд-во АСТ Астрель, 2006.

3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.

4. Неопределенный интеграл. Методические указания к самостоятельному выполнению задания для студентов всех специальностей. Л.: ЛИСИ, 1989.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Айрис-пресс, 2006.

6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: «Наука», 1985.

Содержание

1. Первообразная………………………………………………………….…..……3

2.Неопределенный интеграл……………………………………….………………4

3.Таблица неопределенных интегралов…………..………………….…………...6

4. Простейшие правила интегрирования…………………...……….…………11

5. Замена переменной в неопределенном интеграле…………..……….………17

6. Интегрирование по частям……….…………………………………………..20

7. Интегрирование дробно-рациональных функций………..….……….……..25

8. Интегрирование некоторых типов тригонометрических функций………...36

9. Интегрирование некоторых иррациональных функций……..…..…………40

10.Разные задачи………...………….............................................................42

Рекомендуемая литература……………………………………………………51