Вычисление бесконечных сумм

Будем теперь рассматривать бесконечную сумму вида . Это выражение называется функциональным рядом. При различных значенияхиз функционального ряда получаются различные числовые ряды. Числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Совокупность значений, при которой функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Числовой ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов приимеет предел, в противном случае, ряд называется расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, что общий член рядапри неограниченном увеличении его номера стремится к нулю:. Это необходимый признак сходимости для всякого ряда.

В случае бесконечной суммы будем вычислять ее с заданной точностью Cчитается, что требуемая точность достигается, если вычислена сумма нескольких первых слагаемых и очередное слагаемое оказалось по модулю меньше чеме, то есть это слагаемое на результат практически не влияет. Тогда его и все последующие слагаемые можно не учитывать.

Пример. Написать программу для подсчета суммы с заданной точностью().

Указание по решению задачи. Рассмотрим, что представляет из себя заданный ряд: . Как видим, общий член ряда с увеличением значения i стремится к нулю. Поэтому данную сумму можно вычислить, но только с определенной точностью. Заметим также, что последовательность слагаемых можно выразить с помощью рекуррентного соотношения,, а всю сумму - с помощью рекуррентного соотношения. (Данные рекуррентные соотношения выведите самостоятельно.)

using System;

namespace Hello

{

class Program

{

static void Main()

{

Console.Write("Задайте точность вычислений е: ");

double e=double.Parse(Console.ReadLine());

double a=-1, s=0;

for (int i=2; Math.Abs(a)>=e; ++i)

{

s+=a;

a/=-i;

}

Console.WriteLine("s={0:f2}",s);

}

}

}

Практическое задание

Замечание. При решении задач производить обработку следующих исключительных ситуаций: ввода пользователем недопустимых значений и переполнения при вычислении математических выражений.

1. Для заданного натурального и действительногоподсчитать следующие суммы:

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. 

2. Для заданного натурального и действительногоподсчитать следующие выражения:

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

3. Вычислить бесконечную сумму ряда с заданной точностью е (e>0).