Корнеев - ТММ. Кинематика

Отрезки nBA и nBC (мм), которыми изображаются на плане ускорений соответственно WBAn и WBCn , вычисляются следующим образом:

От точки П (см. рис. 2.4, в) параллельно звену OA (см. рис. 2.4, а) откладывается отрезок ( Па), направленный от точки A к точке O. В соответствии с векторным уравнением (2.3) от точки а следует отложить отрезок nBA , который параллелен звену AB и направлен

от точки B к точке A. Через конец отрезка nBA перпендикулярно к звену AB проводится направление вектора ускорения WrBAτ . От точки П (полюса плана ускорения) следует отложить отрезок nBC , па-

раллельный звену BC и направленный от точки B к точке C. Через конец отрезка nBC перпендикулярно к звену BC проводится направление

вектора ускорения WrBCτ до пересечения с направлением вектора уско-

рения WBAτ в точке b. r

Отрезок ( Пb ) изображает вектор ускорения WB точки B. Отрезки τBA и τBC характеризуют соответственно тангенциальные ускорения WBAτ и WBCτ . Соединив точку а с точкой b, получаем отрезок (ab), изображающий вектор WBA полного ускорения точки B

в ее относительном вращательном движении вокруг точки A.

На основании теоремы подобия точка s2 плана ускорений (конец вектора ускорения WS2 точки S2) лежит на отрезке (ab) плана ускоре-

ний и делит его в той же пропорции, что и точка S2 звена AB. Расстояние точки s2 от точки а плана ускорений находится из условия подобия:

AS2 AB =(as2 )(ab), откуда (as2 ) =(ab) AS2 AB.

Отложив от точки а отрезок (as2), можно определить положение точки s2. Отрезок (Пs2) изображает вектор WS2 ускорения точки S2,

величина которого равна:

WS2 = (Пs2 ) µW .

Построив план ускорений, можно найти следующие линейные ускорения:

WBAτ = (τBA ) µW ; WBA = (ab) µW ; WBCτ = (τBC ) µW ; WB = (Пb) µW .

21

Для определения направления углового ускорения звена 2 вектор ускорения WBAτ (τBA ) переносится в точку B звена AB, и рассматривается движение точки B вокруг точки A в направлении ускорения WBAτ .

Для 6-го положения механизма это движение соответствует вращению отрезка BA против часовой стрелки, следовательно, угловое ускорение ε2 направлено против часовой стрелки. Для определения на-

правления углового ускорения звена 3 вектор ускорения переносится в точку В звена ВС, и рассматривается вращение точки В вокруг точки С в направлении ускорения WBCτ . Для 6-го положения

механизма это движение соответствует вращению отрезка ВС против часовой стрелки. Следовательно, угловое ускорение ε3 направлено

против часовой стрелки.

Из вышеизложенного видно, что метод планов позволяет легко определить векторы ускорений любых точек и звеньев механизма по величине и направлению, что необходимо для определения сил инерции звеньев механизма.

2.5.3. Кулисный механизм

Заданными считают кинематическую схему механизма (рис. 2.5, а), размеры всех звеньев и угловую скорость ведущего звена ω1.

План механизма. В масштабе длины µl строят планы механизма, начиная с построения ведущего звена – кривошипа ОА. Масштаб µl определяется как µl =lOA (OA), где lOA – истинная длина звена OA, м;

(OA ) – отрезок, характеризующий истинную длину звена OA на плане механизма, мм (задается произвольно).

Кривошип изображают в восьми положениях через каждые 450, начиная с положения, соответствующего левому крайнему положению точки В (ОА0 СВ0 ). Затем изображают все остальные звенья ме-

ханизма в восьми положениях, соответствующих указанным положениям кривошипа.

План скоростей. Построение плана скоростей (для третьего положения механизма) начинается от ведущего звена, закон движения

22

которого задан. Скорость точки А, принадлежащей кривошипу 1, равна: VA1 = ω1lOA . Вектор этой скорости направлен перпендикулярно

к звену ОА в направлении вращения кривошипа (в сторону ω1 ).

p3 µV (м/с/мм)

µl (м/мм)

б

µW (м/с2/мм)

Рис. 2.5. Планы механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) кулисного механизма

Так как звенья 1 и 2 (кривошип и камень кулисы) механизма соединяются между собой вращательной парой, то скорости точек А1 и А2, лежащих на оси этой пары, равны, т.е. VA1 =VA2 .

23

Скорость точки А3 кулисы ВС, совпадающей с точкой А2 камня, определяется по уравнению

Это уравнение основано на том, что движение звена 2 (абсолютное) представляется как составное из переносного движения вместе со звеном 3 и относительного движения по отношению к этому звену. Скорость относительного движения ползуна 2 вдоль кулисы 3 VA2 A3

направлена параллельно звену ВС, так как поступательная пара, соединяющая звенья 2 и 3, допускает относительное движение только в этом направлении. Скорость точки VA3 направлена перпендикулярно

к звену ВС. Вместо последнего уравнения можно применять равносильное уравнение

VvA3 = VA2 + VA3A2 ,

BC OA || BC

которое удобно тем, что неизвестный вектор стоит в левой части. Скорость точки В кулисы определяется на основании теоремы

подобия:

VB VA3 =CB CA , откуда VB =VA3 CBCA.

Построение плана скоростей проводим в такой последовательности: от точки р плана скоростей (рис. 2.5, б) перпендикулярно к звену ОА с учетом направления вращения кривошипа 1 откладывается отрезок ( рa1,2 ), длина которого выбирается произвольно, в мас-

штабе плана скоростей µV , определяемого как

µV =VA1,2 ( pa1,2 ) .

Из точки а1,2 плана скоростей параллельно звену ВС проводится направление вектора VA2 A3 , а через точку р перпендикулярно

к звену ВС – направление вектора VA3 . На пересечении этих направлений получается точка a3 – конец вектора скорости точки A3 звена 3.

Точка b – конец вектора скорости точки В – лежит на продолжении прямой pa3 плана скоростей и определяется на основании теоремы

подобия:

( pb) ( pa3 ) =CB CA3 , откуда ( pb) =( pa3 ) СВСА3 .

24

Величина угловой скорости кулисы 3 в данном положении находится из условия

ω3 =VA3 lCA =VB lCB ,

От произвольной точки П3 полюса плана ускорений (рис. 2.5, в)

по направлению от точки А к точке О параллельно звену АО откладывается отрезок , представляющий собой ускорение WA точки A1

кривошипа на плане ускорений.

Масштаб плана ускорений (размерность – м/с2/мм):

µW =WA / (Пa1,2 ).

Ускорения точек А1 и А2, как и их скорости, будут равны. Движение точки А2 камня кулисы рассматривается как сложное: вместе с кулисой (переносное) и относительно нее. Поэтому

25

Это уравнение можно записать и несколько иначе, что равносильно:

В этом уравнении, кроме относительного ускорения WrAr2 A3 , имею-

щего направление относительного перемещения звена 2 вдоль звена 3 (параллельно звену ВС), появилось кориолисово (поворотное) ускорение, величина которого находится по формуле

WAk2 A3 = 2VA2 A3 ω3 .

Направление кориолисова ускорения определяется поворотом вектора относительной скорости VA2 A3 на 900 по направлению пере-

носной угловой скорости ω3 (см. рис. 2.5, а). Далее вычисляется вели-

чина нормального ускорения точки А3 в ее относительном вращательном движении вокруг точки С:

звену АС. От точки a1,2 (см. рис. 2.5, в) плана ускорений перпендику-

люса П параллельно звену АС в направлении от точки А к точке С от-

26

единив точку а3 с полюсом П, получаем отрезок (Па3) абсолютного ускорения WrA3 точки А3. Отрезок (Пb) определяется по правилу

подобия:

(Пb) (Пa3 ) = CB CA3 , откуда(Пb) = (Пa3 ) СВСА3 .

Величина углового ускорения звена 3 находится по формуле

носится в точку А3, и наблюдается, в какую сторону этот вектор вращает кулису ВС.

2.6. Метод подобия

В предыдущем пункте были приведены основные уравнения для определения скоростей и ускорений отдельных точек кривошипноползунного механизма. Рассмотрим простой геометрический способ определения скорости и ускорения произвольной точки D, жестко связанной с шатуном 2 (рис. 2.6, а). В результате построения плана скоростей известны скорости двух точек звена 2: В и С. Зная скорости двух точек звена, можно определить скорость любой его третьей точки, например, точки D.

где VDВ – скорость точки D в ее относительном вращательном движе-

нии вокруг точки В;

VDС – скорость точки D в ее относительном вращательном движе-

27

В уравнении (2.5) векторы VВ и VС известны и по величине и по направлению, а векторы VrDВ и VDС только по направлению. Для опре-

деления их величин воспользуемся методом планов, используя предыдущие построения. Пересечение прямых, проведенных через точку b плана скоростей (рис. 2.6, б) перпендикулярно к звену DВ и через точку с перпендикулярно к звену DС, даст точку d. Соединив точку d с полюсом, получаем вектор скорости точки D, модуль которого равен: VD = (pd )µV .

Скорость точки D можно определить и иначе, используя свойство подобия, согласно которому фигура bсd на плане скоростей подобна фигуре ВСD на плане механизма и сходственно с ней расположена, т.е. если обход по точкам В, С, D выполнен против хода часовой стрелки, то обход по точкам b, с, d на плане скоростей должен быть также против хода часовой стрелки. Построив треугольник bсd на плане скоростей (рис. 2.6, б), подобный треугольнику ВСD на плане механизма (рис. 2.6, а), и соединив полюс p с точкой d, определим вектор скорости точки D.

p, а

Рис. 2.6. Определение скорости и ускорения точки D в кривошипно-ползунном механизме методом подобия

Из плана скоростей можно также найти скорости:

VDВ = (db)µV ; VDC = (dc)µV .

Угловая скорость звена 2: ω2 =VCB lCB .

Направление угловой скорости звена 2 определяет вектор VCВ , ес-

ли его перенести в точку С. Звено 2 вращается вокруг точки В против часовой стрелки. Фигура bcd на плане скоростей повернута относи-

28

тельно фигуры ВСD на плане механизма на 900. Свойство подобия дает возможность найти скорость любой точки звена, если известны скорости двух точек этого звена.

Определим по правилу подобия ускорение точки D звена 2. На отрезке (bс) плана ускорений (рис. 2.6, в) строится треугольник bсd, подобный треугольнику ВСD на звене 2 (рис. 2.6, а). Для этого от точки b плана ускорений под углом α к отрезку (bс) с учетом правила обхода контура ВСD проводится линия (bd), которая пересекается в точке d с линией (cd), проведенной через точку с плана ускорений под углом β к отрезку (bс) также с учетом правила обхода контура ВСD. Ускорение WD точки D равно: WD = (pd )µW .

29

3.СТРУКТУРНОЕ И КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧАЮЩЕГОСЯ ГРОХОТА-КОНВЕЙЕРА

3.1. Описание схемы механизма

Качающийся грохот предназначен для сортировки кускового материала (руда, уголь и т.п.) и служит также конвейером для перемещения материала в горизонтальном направлении.

Грохот состоит из длинного лотка (желоба), собираемого из отдельных частей, и привода (рис. 3.1). Материал подается в лоток специальным питателем. Лоток жестко соединен с ползуном D, который совершает возвратно-поступательное движение. Между лотком и лежащим на нем материалом действует сила трения, которая зависит от веса материала и коэффициента трения скольжения.

Рис. 3.1. Кинематическая схема качающегося грохота-конвейера

Материал перемещается по лотку в том случае, если сила инерции материала превышает силу трения. Это может быть при условии, если ускорение лотка будет больше некоторого критического значения (WD >Wкр), которое определяется как

Wкр = g f ,

где g – ускорение силы тяжести;

f – коэффициент трения между лотком и материалом.

Материал должен двигаться по лотку все время в одну сторону. Для этого необходимо, чтобы при движении ползуна D вправо его ус-

30