Корнеев - ТММ. Кинематика

Используя представление сложного движения в виде суммы поступательного и вращательного движений, можно определить и ускорение точки В, если известно ускорение точки А (рис. 2.2, б):

r WB =WA +WBA ,

где вектор WBA – вектор ускорения точки B в ее относительном вращательном движении вокруг точки А. Вектор WBA удобно представить

Если же известны векторы VBA и WBAτ по величине и направлению,

то можно определить величины угловых скорости и ускорения звена ВА:

ωBA =VBA lBA ; εBA =WBAτ lBA .

Направлениеr угловой скорости звена ВА совпадает с направлением вектора VBA , приложенного в точке В, а направление углового ус-

корения звена ВА – с направлением вектора WBAτ , приложенного тоже в точке В.

2.4. Планы скоростей и ускорений

Планами скоростей и ускорений механизма называют векторные изображения этих кинематических параметров, соответствующие заданному положению механизма, т.е. чертежи, на которых изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и направлению скоростям или ускорениям соответственно различных точек звеньев механизма в данный момент.

Масштаб скоростей подсчитывается по формуле µV =VA и имеет размерность м/с/мм. Масштаб ускорений: µW =WAn

11

размерность – м/с2/мм. Векторы абсолютных скоростей или ускорений на каждом плане откладывают от одной точки – полюса, обозначаемого на планах скоростей и ускорений буквой р; а – конец вектора скорости или ускорения.

2.5.Кинематический анализ плоских рычажных механизмов методом планов

Рассмотрим метод решения задач кинематического исследования с использованием планов скоростей и ускорений.

2.5.1. Кривошипно-ползунный механизм

Заданными считают длину кривошипа lOA = r и его угловую скорость ωOA = const , а также длину шатуна lAB = l .

План механизма. При построении планов кривошипно-ползунного механизма в масштабе длины µl (рис. 2.3, а) прежде всего следует найти его крайние положения, которые определяют ход ползуна Н.

µl (м/мм) ОА = r OB = l

а

p3

µW (м/с2/мм)

µV (м/с/мм)

бв

Рис. 2.3. Планы механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) кривошипно-ползунного механизма

12

Масштаб µl определяется по формуле µl = lOA /(OA) , где lOA – истинная длина звена OA , м; (OA) – отрезок, характеризующий истинную длину звена OA на плане механизма, мм (выбирается произвольно). Для этого из точки О делаются засечки радиусами (l +r) и (l −r) на прямой линии, по которой движется точка В ползуна 3. Прямые, соединяющие точки В0 и В6 с точкой О, пересекают окружность, описываемую точкой А, в соответствующих точках А0 и А6. За начальное (нулевое) положение механизма удобно принять одно из крайних, это – положение А0 кривошипа ОА. При ωOA = const кривошип OA перемещается от начального положения OA0 через равные промежутки времени на равные углы поворота, а точка А занимает равноотстоящие положения А1, А2,…, А7, А8. Если требуется построить восемь планов механизма, то окружность, описываемую точкой А, следует разделить на восемь равных частей, начиная от положения А0 (оно же будет А8). Соответствующие восемь положений шарнира В определяют, делая засечки радиусом АВ из каждого положения на траектории движения точки В (рис. 2.3, а). Соединяя последовательно точки А0, А1,…, А7 с точкой О и с соответствующими точками В0, В1,…, В7, получают кинематическую схему механизма в восьми положениях ведущего звена.

План скоростей. Задача об определении скоростей, решаемая путем построения плана скоростей, формулируется следующим образом. Дан план механизма с указанием всех размеров, и задана угловая скорость начального звена. Требуется найти скорость и ускорение звена 3 (точки В поршня) и угловые скорость и ускорение звена 2 (шатуна).

Решение задачи начинается с определения величины скорости точки А начального (ведущего) звена 1:

VA = ω1lOA .

Скорость VA изображается вектором, отложенным из некоторой

точки р, называемой полюсом плана скоростей (рис. 2.3, б). Этот вектор направлен перпендикулярно к звену ОА, в сторону, соответствующую направлению угловой скорости ω1 . В конце вектора ставится

13

точка а. Длина отрезка (ра) может быть выбрана произвольно. Масштаб плана скоростей подсчитывается по формуле µV =VA (pa) и име-

ет размерность м/с/мм.

Затем находится скорость точки В ползуна 3, которая является общей для звеньев 2 и 3. По известной теореме о разложении сложноплоского движения твердого тела на поступательное с произвольно выбранной точкой тела и на вращательное вокруг этой точки имеем:

VB = VA + VBA .

|| x − x OA BA

В этом уравнении принято, что поступательное движение тело совершает вместе с точкой А. В векторном уравнении вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор, известный только по направлению, подчеркнут одной линией, под которой указано это направление.

Из последнего уравнения можно найти две неизвестные величины VB и VBA , используя для этого графическое построение тре-

угольника векторов. Через точку а плана скоростей (рис. 2.3, б) проводится линия, перпендикулярная к звену ВА, а из полюса p – линия, параллельная оси Х-Х, по которой перемещается ползун. Вr пересечении этих направлений находится точка b – конец вектора VB искомой

скорости точки В. Вектор скорости VBA изображается отрезком (ba),

причем стрелка вектора направлена к точке b, соответствующей первой букве индекса.

Угловая скорость звена 2 находится по формуле

ω2 =VBA lBA ,

где VBA = (ba)µV .

Для определенияr направления угловой скорости звена 2 вектор скорости VBA переносится в точку В, и рассматривается движение

точки В относительно точки А в направлении скорости VrBA . В данном

примере это движение соответствует вращению отрезка ВА против часовой стрелки. Следовательно, угловая скорость ω2 направлена

против хода часовой стрелки.

План ускорений. Уравнения, которые используются при построении плана ускорений механизма, отличаются от уравнений для построения плана скоростей только разложением полных ускорений на

14

отдельные составляющие. Полное ускорение точки А складывается из двух составляющих: нормального WAOn и касательного WAOτ ускорения:

пендикулярно к прямой ОА. При ω1 = const угловое ускорение кривошипа ε1 = d ω1 d t = 0 и тангенциальная составляющая WAOτ ускорения также равна нулю.

Приняв некоторую точку П за полюс плана ускорений (рис. 2.3, в), отложим вектор, изображающий нормальное ускорение точки А в ее относительном вращательном движении вокруг точки О, в виде отрезка (Па). Тогда масштаб плана ускорений найдется из соотношения (размерность – м/с2/мм)

µW =WAOn (Пa).

Ускорение точки В находится из уравнения, аналогичного уравнению для определения скорости точки В, с разделением каждого ускорения на нормальную и касательную составляющие:

WrB = WA + WBAn + WBAτ ,

|| x − x A →0 B →0 BA

где WBAn и WBAτ – векторы нормального и тангенциального составляющих ускорения точки B в ее относительном вращательном движении вокруг точки A.

Нормальное ускорение вычисляется по формуле

WBAn =VBA2 lBA = ω22 lBA .

Вектор W n должен быть направлен по линии ВА от точки В к точ-

BA r τ

ке А. Векторы WB и тангенциального ускорения WBA известны только по направлению. Вектор WB направлен параллельно линии, по которойr перемещается ползун В, т.е. параллельно оси Х-Х, а вектор WBAτ – перпендикулярно к звену АВ.

15

Через точку а (рис. 2.3, в) ранее построенного отрезка (Па) плана ускорений проводится линия, параллельная звену АВ, и на ней откладывается отрезок

nrBA =WBAn µW ,

направленный от точки В к точке А. Это вектор относительного нормального ускорения WrBAn . Через конец вектора WBAn перпендикулярно к звену ВА проводится направление вектора (на плане ускорений – rτBA ), а через полюс П параллельно оси Х-Х – направление вектора WrB , и в их пересечении отмечается точка b. Отрезок (Пb) изображает полное ускорение WÂ , модуль которого равен:

WB = (Пb)µW .

Величина вектора ускорения WBAτ находится через отрезок плана ускорений:

WBAτ = (τBA )µW .

Угловое ускорение звена 2 определяется формулой

точки В вокруг точки А, принятой за полюс. Угловое ускорение ε2 направлено против часовой стрелки.

2.5.2. Шарнирный четырехзвенник

Заданными считают длину кривошипа lOA = r и его угловую скорость ω1 = const , а также длину шатуна lAB = l , длину коромысла lBC = a и межцентровое расстояние lOC = d .

План механизма. При построении планов механизма шарнирного четырехзвенника в масштабе µl (рис. 2.4, а) в первую очередь следует

найти его крайние положения, которые определяют ход коромысла BC. Для этого из точки O делаются засечки радиусами

и на траектории движения точки B, которую проводят из

16

точки С радиусом BC. В результате получаются точки B0 и B0' , которые соединяются с точками C и O. При пересечении прямой OB0 с траекторией движения точки A получают точку A0. Прямую B0′O продолжают за точку O до пересечения с траекторией движения точки A. В результате получают точку A0′ . За начальное (нулевое) положение механизма удобно принять положение OA0B0C.

В0

A'

p5

бв

Рис. 2.4. Планы механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) шарнирного четырехзвенника

При ω1 = const кривошип OA перемещается от начального положе-

ния OA0 через равные промежутки времени на равные углы поворота, а точка A занимает равноотстоящие положения A1, A2 ,…, A7, A8. Если требуется построить восемь планов механизма, то окружность, описываемую точкой A, следует разделить на восемь равных частей (через 450), начиная от положения A0 (оно же будет A8). Соответствующие восемь положений шарнира B определяют, делая засечки радиусом AB из каждого положения на траектории движения точки B (рис. 2.4, а). Соединяя точки A0, A1 ,…, A7 с точкой O и с соответствующими точками B0, В1 ,…, B7, получают кинематическую схему шарнирногочетырехзвенника ввосьмиположениях ведущего звена.

17

План скоростей. Величина скорости точки A определяется как

VA = ω1 lOA .

Вектор скорости точки А (VA ) перпендикулярен к кривошипу OA

и направлен в сторону его вращения. Векторные уравнения для скорости точки B имеют следующий вид:

вращательном движении вокруг точек A и C соответственно. Из уравнений (2.1), учитывая, что VC = 0 , получаем:

вращательном движенииr вокруг точки A направлен перпендикулярно к звену BA, а вектор VBC скорости точки B в ее относительном враща-

тельном движении вокругr точки C – перпендикулярно к звену BC. Неизвестные векторы VBA и VBC могут быть определены построением

плана скоростей.

Задаваясь длиной отрезка (pa), который на плане скоростей (см. рис. 2.4, б) изображает вектор VA скорости точки A, можно опре-

делить масштаб плана скоростей: µV =VA ( pa), м/смм.

Из точки p, принятой за полюс плана скоростей, перпендикулярно к звену OA в сторону его вращения откладывается отрезок (ра). Точка с на плане скоростей лежит в полюсе p, так как скорость точки C на плане механизма равна нулю. Через точку а плана скоростей проводится линияr , перпендикулярная к звену BA (это будет направление вектора VBA ), а через точку с проводится линия, перпенди-

кулярная к звену BC (это будет направление вектора VrBC ). Точка b пересечения этих двух линий определяет конец вектора скорости VB

точки В механизма.

Точка s2 плана скоростей – конец вектора скорости точки S2 – находится по теореме подобия. Точка s2 делит отрезок (ba) плана скоро-

18

стей (см. рис. 2.4, б) в той же пропорции, что и точка S2 (см. рис. 2.4, а) делит звено BA на плане механизма. Имеем:

AS2 AB =(as2 ) (ab), откуда (as2 ) =(ab) AS2 AB.

Отложив вычисленный отрезок (as2) от точки а на плане скоростей, найдем положение точки s2. Точка s2 соединяется с полюсом p, тогда величина искомой скорости VS2 точки S2 равна:

VS2 = ( ps2 ) µV ,

где ( ps2 ) – отрезок (мм), характеризующий скорость точки S2 на плане

скоростей.

Аналогично определяются следующие скорости:

VB = ( pb) µV ; VBA = (ab) µV ,

где ( pb) и (ab) – отрезки (мм), характеризующие соответственно ско-

рости VB и VBA на плане скоростей.

Величины угловых скоростей звеньев 2 и 3 находятся из уравнений:

ω2 =VBA lBA ; ω3 =VB lBC .

Для определенияr направления угловой скорости звена 2 вектор скорости VBA переносится в точку B звена BA, и рассматривается дви-

жение точки B относительно точки A в направлении скорости VBA .

Для 6-го положения механизма это движение соответствует вращению отрезка BA по часовой стрелке. Следовательно, угловая скорость ω2 направлена по часовой стрелке.

Для определенияr r направления угловой скорости звена 3 вектор скорости VB (VBC ) переносится в точку B звена BC, и рассматривается

движение точки B вокруг точки C в направлении скорости VB .

Для 6-го положения механизма это движение соответствует вращению отрезка BC по часовой стрелке. Следовательно, угловая скорость ω3 направлена по часовой стрелке.

План ускорений. Полное ускорение точки A определяется по формуле

WA =WAOn +WAOτ ,

где WAOn и WAOτ – нормальная и тангенциальная составляющие уско-

рения точки A в ее относительном вращательном движении вокруг точки O.

19

Вектор нормального ускорения WAOn направлен вдоль прямой OA от точки A к точке O, а величина этого ускорения равна: WAOn = ω12 lOA . При ω1 = const угловое ускорение кривошипа 1: ε1 =dω1 dt =0 и тангенциальная составляющая WAOτ равна нулю, т.е. WA =WAOn .

Ускорение точки B находится из системы уравнений

Тогда можно записать:

где WrBAn и WrBAτ – нормальная и тангенциальная составляющие ускоре-

ния точки B в ее относительном вращательном движении вокруг точки A;

тангенциальных ускорений известны только по направлению: вектор WBAτ перпендикулярен к звену BA, а вектор WBCτ перпендикулярен к звену BC.

Ускорение WB точки B и величины ускорений WBAτ и WBCτ определяются построением плана ускорений:

µW =WA (Пa), мс2 мм,

где WA – истинное значение ускорения точки A, м/с2;

(Пa) – отрезок, характеризующий истинное значение ускорения точки A на плане ускорений, мм.

20