Лекция 1

3. Кинематические уравнения прямолинейного равномерного движения. Кинематические уравнения равноускоренного движения.

Рассмотрим частные случаи движения материальной точки, определяемые свойствами кинематических характеристик, и получим для этих случаев кинематические уравнения–зависимостикинематическиххарактеристикотвремени.

1.Равномерноепрямолинейноедвижение v const, a 0

равномерного движения в векторном виде. Если ось ОХ направить вдоль направления скорости (вдоль траектории, которая прямолинейна), то уравнение для радиус-вектора в проекции на этуось будетиметь вид x t x0 vt, а путь, пройденный теломк моменту времениt,будетопределятьсяхорошоизвестнымвыражением s vt.

11

2.Равноускоренноедвижение a const 0

Такимобразом,ввекторнойформекинематическиеуравненияравноускоренного

Для равнопеременного движения кинематические уравнения имеют вид:

12

4.Движение по окружности.

Описание движенияматериальнойточкипоокружностидаже с постояннойповеличине скоростью с помощью введенных кинематических характеристик довольно сложно, поскольку ни ускорение, ни скорость при этом не являются постоянными величинами, так как меняют свое направление (v const, a const). В то же время само движе-

ние довольно простое и должно быть какое-нибудь простое его описание. Действитель-

но, описание вращения будет простым, если ввести угол поворота , [рад], как характеристикуположения материальной точки. Тогда скоростью будет скорость вращения, которая определяется как угол поворота в единицу времени и называется мгновенной угловой скоро-

стью . Угловая скорость равна производной угла по времени

Мгновенное угловое ускорение – скорость изменения угловой скорости

14

При ускоренном движении угловое ускорение совпадает по направлению с угловой

скоростью, . При замедленном вращении угловое ускорение направлено в проти-

воположнуюотносительноугловойскоростисторону, .

При равномерном движении материальной точки по окружности кинематические уравнения в угловых переменных будут иметь вид

0, const, t 0 t.

При движении материальной точки по окружности с постоянным угловым ускорением кинематические уравнения будут иметь вид, аналогичный прямоли-

нейному равноускоренному движению (процедура получения уравнений одинаковая)

15

Очевидно, что угловые переменные, введенные для вращения, и линейные переменные должны быть связаны друг с другом, так как с помощью тех и других можноописатьодноитожедвижение.Найдемэтусвязь.

По определению единицы измерения угла – радиана. Дуга окружности S связана с радиусомокружностиRсоотношением S R илидляприращений S R.

В векторном виде, с учетом направлений вектора можно записать v ,r , r R

16

Найдем связь между ускорениями. По определению a dv,а v ,r , то

Первое слагаемое , r – называется тангенциальной составляющей ускорения (тангенциальным ускорением) (направле-

, т. е. всегда параллельно скорости)

a ,r . Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения вектора

скорости по величине a dv. dt

Второе слагаемое ,v – называют нормальной составляющей ускорения (нормальным ускорением, центростремительным) (направлено по радиусу к цен-

тру окружности, то есть перпендикулярно скорости) an ,v . Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению

an v 2R v2 .

R

17

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви-

жениеможноклассифицироватьследующимобразом:

1)аτ = 0, an = 0 – прямолинейное равномерное движение;

2)aτ ≠ 0= const, an = 0 – прямолинейное равнопеременное движение. При та-

3)aτ = f(t), аn =0 – прямолинейное движение с переменным ускорением;

4)aτ = 0, an = const. При aτ = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы аn= v2 /r следует, что радиус кривизны должен быть

постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5)aτ = 0, an ≠ 0 – равномерное криволинейное движение;

6)aτ = const, an ≠ 0 – криволинейное равнопеременное движение;

7)aτ =f(t), an ≠ 0 – криволинейное движение с переменным ускорением.

19

Криволинейное движение. Общий случай.

При произвольном движении траектория криволинейная, а скорость непостоянна. В этом случае ускорение тоже можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие a ,r ,v . Нормальная составляющая ускорения an ,v будет направлена к центрумгновеннойокружности – окружности, дуга которой совпадает с траекторией движения материальной точки на

бесконечно малом участке,где находится материальная точка в момент времени t. Вели-

R t –радиусмгновеннойокружностиилирадиускривизнытраектории.

Таким образом, произвольное движение может быть рассмотрено как движение по траектории переменной кривизны, то есть в отличие от вращения R t const. На прямолинейномучасткетраектории R t и,естественно, an 0 и a a .

20