3.1 Равномерная сходимость функционального ряда

Для каждого значения x₀ из области сходимости ряда , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при .

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некотором интервале, если он сходится для всех x из этого интервала и если для всякого числа  > 0 существует такое число N > 0, зависящее от  и не зависящее от x. (при n > N выполняется неравенство для всехx из рассматриваемого интервала).

Задача 15.31 [7]

Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке [0, 1]. При каких n абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0,1 для всех ?

Решение:

Найдем область абсолютной сходимости данного ряда, т.е. область сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера.

, ;

, т.е. m = | x |.

Данный ряд сходится для всех значений x при , т.е. , .

При x=1 получается ряд – числовой знакочередующийся, который сходится по признаку Лейбница (проверьте это самостоятельно).

Итак, ряд сходится на отрезке . Теперь нужно убедиться, что для любого можно подобрать такой номер , что при всяком будет иметь место неравенство для всех .

.

–первый член этого ряда.

Тогда (следствие теоремы Лейбница: сумма знакочередующегося ряда не превосходит первый член ряда).

На отрезке выражениепринимает наибольшее значение при. Тогдадля всехэтого отрезка.

Пусть – любое фиксированное число. Выясним, при каких для всехсправедливо неравенство. Оно будет выполняться при.

Решим это неравенство: ,.

Примем за номер целую часть. Итак, при для всех . Равномерная сходимость ряда установлена.

Вычислим при ; .

Итак, при абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0,1 для всех.

3.2 Признак Вейерштрасса

Для установления равномерной сходимости функционального ряда на отрезке служат и достаточные признаки равно­мерной сходимости. Рассмотрим один из них.

Теорема (признак Вейерштрасса)

Если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами и при этом выполняются соотношения: для всех , в котором определены члены функционального ряда , то этот ряд сходится равномерно (и абсолютно) в интервале .

В этом случае ряд , члены которого превосходят абсолютные величины соответствующих членов ряда , называется мажорантным рядом для .

Примечание. Если сходится ряд , то можно найти такое положительное целое число (номер), не зависящее от , что при модуль будет меньше любого наперед заданного положительного числа .

Задача 16.31 [7]

Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке: ,.

Решение:

Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Отрезок входит в область определения членов данного функционального ряда (члены ряда определены на всей числовой оси). Для всехимеет место неравенство:

.

Пользуясь интегральным признаком сходимости, покажем, что числовой ряд с положительными членами сходится.

Рассмотрим функцию . Она непрерывна, монотонно убывает и положительна для значений. Поэтому можно применить указанный признак.

Несобственный интеграл

т.е. сходится. Следовательно, ряд сходится. Значит, рядявляется мажорантным для данного функционального ряда.

Таким образом, все условия признака Вейерштрасса выполнены, поэтому заданный ряд сходится равномерно (и абсолютно) на указанном отрезке.