3. Линейные уравнения первого порядка
3. 1. Метод вариации произвольной постоянной
Линейным уравнением
первого порядка называется дифференциальное
уравнение первого порядка линейное
относительно yи
т.е.
(3)
1).Если в (3) Q(x)=0, то (3)называется однородным:
Уравнение (5) является общим решением уравнения (4).
2). Будем считать произвольную постоянную снеизвестной функциейс(х), т.Е.
Полученные выражения для yиy/подставим в (3) и найдемс (х):
Решение уравнения (3) запишется в виде (подставим в (5))
Рассмотренный способ называется методом вариации произвольной постоянной.
3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки
Уравнение
(3) можно решить с помощью подстановки:
y=UV,
где U=U(x),
V=V(x).
Тогда
.
Подставим
и
в (3):
Во многих примерах необходимо решить задачу Коши (например, в задачах №4, №5, №6, №11).Процесс решения сводится к отысканию частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1,2,3,...), удовлетворяющего n начальным условиям вида
.
.
Т.е. ищут общее решение дифференциального уравнения, а затем, воспользовавшись начальными условиями, находят значения всех n произвольных постоянных c1, c2,..., cn, входящих в общий интеграл уравнения.
Задача №4. Найти решение задачи Коши:
4.31
.
Решение. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его двумя способами.
I-способ.
Решение уравнения ищется в виде
произведения двух функций U=U(X)
и V=V(X),
т.е. y=UV,
одна из которых выбирается произвольным
образом;
.
Подставляя в исходное уравнение, получим
.
Исходя из того, что одну из функций ищут произвольным образом, полученное уравнение разбивают на два следующим способом:
.
Выпишем первое уравнение из системы и решим его:
Мы
можем воспользоваться частным случаем
функции V,
например, когда c=1,
V=x
(значение для c
берут таким образом, чтобы функция V
не оказалась тождественно равной нулю,
в противном случае невозможно будет
искать функцию U).
Подставим найденное значение для V
во второе уравнение системы и найдем
функцию U:
.
Следовательно,
функция
.
Таким образом, найдено общее решение
исходного уравнения. Подставляя начальное
условие, найдемc:
c=0.
Т.е.
решением задачи Коши, удовлетворяющем
данному начальному условию является
,
что и будет ответом.
II-способ. Метод вариации произвольной постоянной.
Составим и решим соответствующее однородное уравнение:
.
Теперь
предположим, что константа c
является функцией от переменной x,
т.е. c=c(x),
тогда y=xc(x).
Найдем
и
подставим в исходное уравнение:
.
Интегрируя обе части уравнения, получим
.
Тогда
- общее решение исходного дифференциального
уравнения. Подставляя начальное условие,
найдем, чтоc=0
и
- частное решение.
Задача №5 .Решить задачу Коши
Решение. Так же как и в задаче №4 это линейное уравнение 1-го порядка, если рассматривать x как функцию от y. Преобразуем уравнение:
Решим его методом вариации произвольной постоянной.
1)
2)
3)
Подставляя 2) и 3) в исходное уравнение, получим
(Интегрировать уравнение (*) удобнее, если преобразовать правую часть, воспользовавшись тригонометрическими формулами.)
Тогда
- общее решение исходного уравнения.
Подставляя начальное условие, найдем, что c=-2. Тогда решением задачи Коши будет
