Сложение случайных и систематических погрешностей.

В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются погрешностями S_СИСТ и S_СЛУЧ. Суммарная погрешность находится по формуле

,

которая показывает, что при наличии как случайной, так и систематической погрешности полная ошибка опыта больше, чем каждая из них в отдельности.

Обратим внимание на важную особенность формулы. Пусть одна из ошибок, например, S_СЛУЧ в 2 раза меньше другой – в нашем случае S_СИСТ. Тогда

.

В нашем примере с точностью 12% S_ПОЛН=S_СИСТ. Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. Данный вывод очень важен. В том случае, когда случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Измерения достаточно произвести 2-3 раза, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.

Обработка результатов при косвенных измерениях.

Пусть для косвенных измерений физической величины А используется известная функциональная зависимость А от ряда других независимых величин B, C, D, E, F, …, Q, заданная в форме .

Среди переменных B, C, …, Q могут быть величины трех типов:

1) величины, определяемые путем прямых измерений (например, величины E, F, …, Q), которые после проведения этих измерений представляются в стандартной форме:

, , …, ;

2) данные установки (например, величины B и C), т. е. характеристики экспериментальной установки, известные из предыдущих измерений; эти величины также должны быть заданы в аналогичной форме:

и ;

3) табличные величины (например, величина D) – величины, которые в данном опыте не измеряются, а берутся из таблиц.

Табличная величина может быть константой (например, D=π). В этом случае ее нужно брать из таблиц с такой точностью, чтобы относительная погрешность D была значительно меньше относительных погрешностей всех остальных величин, входящих в функциональное выражение для искомой величины А. Если же D – заданная в табличной форме функция непосредственно измеряемой величины T, то ее также нужно представить в стандартной форме:

,

где <D> - табличное значение, соответствующее <T>; , а определяется с помощью таблицы.

Наилучшим значением величины А при косвенном ее измерении будет

,

а стандартная погрешность А принимается равной

Окончательный результат также представляется в стандартной форме:

.

Формулы расчета погрешностей при косвенных измерениях в некоторых простейших случаях:

Вид функциональной зависимости	Стандартная погрешность SA	Относительная погрешность SA/A
	-

Запись результатов измерений в стандартной форме.

При записи результата измерений в стандартной форме, необходимо соблюдать следующие правила:

1) погрешность необходимо округлять до двух значащих цифр, если первая из них – единица, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях;

2) при записи значения необходимо указывать все цифры вплоть до последнего десятичного разряда, использованного для записи погрешности.

Пример:

Примеры неправильной записи результата измерений:

1) d=(5,29±0,01) мм – погрешность занижена больше чем на 15 – 20% из-за нарушения правила 1;

2) d=(5,29±0,013) мм – нарушено правило 2;

3) d=(5,2900±0,0134) мм – не выполнено правило 1.

Правила приближенных вычислений.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. Значащими цифрами называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях: когда он стоит между значащими цифрами и когда он стоит в конце числа и известно, что единиц соответствующего разряда в данном числе не имеется.

Например, при сложении чисел

Следует сумму округлять до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04.

2. При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.

Например, вместо вычисления выражения 3,723·2,4·5,1846 следует вычислять выражение 3,7·2,4·5,2.

В окончательном результате необходимо оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.

В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило соблюдается и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, 1,32²≈1,74.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении.

Например,

.

5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий.

Например,

.

Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:

После округления до двух значащих цифр получаем 3,8·10^-3.