3.Статистическая обработка результатов прямых измерений.

Определяем абсолютную погрешность измерения времени:

∆t=√( t_p,N·S_t)²+( t_p,∞/3·δ)²

где t_p,N=2,8; t_p,∞=2,0–соответствующие коэффициенты Стьюдента;

при N=3 (доверительная вероятность 95%);

δ=0,01 – точность секундомера;

S_t=√ (S_t')²+( S_и")² ;

где S_t – среднеквадратичное отклонение;

S_t' – случайная погрешность измерений величины

S_и"=0,01 – инструментальная погрешность секундомера;

S_t'=√Σ(t_i-<t>)²/(N(N-1)),

Определяем относительную погрешность εt измерения времени для каждого тела:

ε_t=∆t/<t>,

Пустая платформа

S_t'=√((134,53-135,69)²+(136,12-135,69)²+(136,44-135,69)²)/(3(3-1))=0,59;

S_t=√(0,59)²+(0,01)²=0,59;

∆t=√(2,8·0,59)²+(2/3·0,01)=1,68 с;

ε_t=1,68/135,69=0,012=1,2%;

Диск

S_t'=√(79,24-79,55)²+(89,80-79,55)²+(78,60-79,55)²/6=0,43 с;

S_t=√(0,43)²+(0,01)²=0,43 с;

∆t=√(2,8·0,43)²+(2/3·0,01)=1,2 с;

ε_t=1,2/79,55=0,015=1,5%

Кольцо

S_t'=√(86,40-86,70)²+(86,88-86,70)²+(86,84-86,70)²/6=0,15 с;

S_t=√(0,15)²+(0,01)²=0,15 с;

∆t=√(2,8·0,15 )²+(2/3·0,01)=0,42 с;

ε_t=0,42/86,70=0,004844=0,48%;

Параллелепипед OX

S_t'=√(106,59-106,19)²+(106,87-106,19)²+(105,11-106,19)²/6=0,54 с;

S_t=√(0,54)²+(0,01)²=0,54 с;

∆t=√(2,8·0,54)²+(2/3·0,01)=1,5 с;

ε_t=1,5/106,19=0,0142=1,42%;

Параллелепипед OY

S_t'=√(108,09-109,28)²+(109,16-109,28)²+(110,60-109,28)²/6=0,615 с;

S_t=√(0,615)²+(0,01)²=0,615 с;

∆t=√(2,8·0,615)²+(2/3·0,01)=1,31 с;

ε_t=1,31/109,28=0,011=1,1%;

Параллелепипед OZ

S_t'=√(103,40-103,79)²+(103,90-103,79)²+(104,06-103,79)²/6=0,19 с;

S_t=√(0,19)²+(0,01)²=0,19 с;

∆t=√(2,8·0,19)²+(2/3·0,01)=0,53 с;

ε_t=0,53/103,79=0,0051=0,51%.

Результаты расчетов сведем в таблицу:

Таблица 4

Тело	St, с	∆t, с	εt,%
Пустая платформа	0,6	1,68	1,2
Диск	0,43	1,2	1,5
Кольцо	0,15	0,42	0,48
Параллелепипед OX	0,54	1,5	1,42
Параллелепипед OY	0,62	1,31	1,1
Параллелепипед OZ	0,19	0,53	0,51

4.Статистическая обработка результатов косвенных измерений.

1. Определяем относительную погрешность ε_T измерения периода колебаний:

ε_T=√ε_t²+ε_n², (8)

где ε_n – относительная погрешность измерения числа полных колебаний n

ε_n=∆n/<n>, (9)

при ∆n=0,25, ε_n=0,02=2%

2. Определяем абсолютную погрешность ∆T измерения периода колебаний:

∆T=ε_T·<T>, с (10)

Пустая платформа :ε_T=√(1,2)²+(2)²=2,4%;

∆T=0,024·4,52=0,11с=1,1·10^-1с;

Диск: ε_T=√(1,5)²+(2)²=2,5%;

∆T=0,025·2,65=0,066с=6,6·10^-2с;

Кольцо: ε_T=√(0,48)²+(2)²=2,06%;

∆T=0,026·2,89=0,059с=5,9·10^-2с;

Параллелепипед OX: ε_T=√(1,42)²+(2)²=2,45%;

∆T=0,0245·3,54=0,086с=8,6·10^-2с;

Параллелепипед OY: ε_T=√(1,1)²+(2)²=2,28% ;

∆T=0,0228·3,64=0,083с=8,3·10^-2с;

Параллелепипед OZ: ε_T=√(0,51)²+(2)²=2,06%;

∆T=0,0206·3,46=0,071с=7,1·10^-2с;

3. Определяем относительную и абсолютную погрешности полученного экспериментального момента инерции платформы:

ε_J0=√(ε_m)²+2·(ε_a)²+2·(ε_T)²+(ε_h)² , (11)

ε_a= ∆a₀/ a₀,

ε_a=(3,14/36)/(3,14/2)=0,0555=5,55%;

где ∆a₀=(π/36)рад. – абсолютная погрешность;

a₀=(π/2±π/36)рад. – угол поворота пустой платформы;

ε_m=∆m/m; ∆m=√( t_p,N·S_m)²+( t_p,∞/3·δ)²; S_m0=√Σ(m_i-<m>)²/(N(N-1));

S_m0=0,0003162 кг

∆m₀=√( 2,8·0.00032)²+( 2/3·0,01)²=0,0041 кг

ε_m0=0,0041/0,358=1,14%;

ε_h0=∆h/<h>; ∆h₀=√( t_p,N·S_h)²+( t_p,∞/3·δ)²; S_h0=√Σ(h_i-<h>)²/(N(N-1));

S_h0=0,0000659 м

∆h₀=√( 2,8·0,00032)²+( 2/3·0,01)²=0,000896 м

ε_h0=0,000896/0,002762=6,6%;

ε_T=2,4%

ε_J0=√(1,14)²+(5,55)²+2·(2,4)²+(6,6)²=10,92%

∆J₀= J₀· ε_J0, кг·м² (12)

∆J₀=0,0041·0,1092=0,00045=4,5·10^-4 кг·м²;

4. Аналогично определяем относительную и абсолютную погрешности момента инерции системы (платформы с телом):

ε_Jсист=√(ε_m)²+(ε_h)²+2*(ε_a)²+2*(ε_T)² (13)

∆J_сист= J_сист· ε_Jсист,кг·м² (14)

ε_h=∆h/<h>

∆h=√(h_p,N*S_h)²+( h_p,∞/3*δ_h)²

Так как h_p,∞/3*δ_h незначительно, то его можно не учитывать.

Тогда формула принимает вид

∆h=k*S_h,

где k=h_p,N=4.3

Диск

ε_m=∆m/m; ∆m=√( t_p,N·S_m)²+( t_p,∞/3·δ)²; S_m0=√Σ(t_i-<t>)²/(N(N-1));

S_m=0,000316 кг

∆m=√( 2,8·0,00032)²+( 2/3·0,01)²=0,0041 кг

ε_m=0,0041/1,097=0,0037=0,37%;

<h>=0,00287

S_h=0,000074 м

∆h=k*S_h=4,3*0,0074=0,0021 м

ε_h=∆h/<h>=0,0021/0,00287=0,0716=7,16%

ε_Jсист=√(ε_m)²+(ε_h)²+2·(ε_a)²+2·(ε_T)²

ε_Jсист=√(0,37)²+(7,16)²+2·(5,55)²+2·(2,5)²=11,2%

∆J_сист=0,0059·0,11=0,00066 кг·м²=6,6·10^-4 кг·м²

Кольцо

ε_m=∆m/m; ∆m=√( t_p,N·S_m)²+( t_p,∞/3·δ)²; S_m0=√Σ(t_i-<t>)²/(N(N-1));

S_m=0,000316

∆m=√( 2,8·0,00032)²+( 2/3·0,01)²=0,0041 кг

ε_m=0,0041/1,097=0,0037=0,37%;

ε_h=∆h/<h>; ∆h=k*S_h,

<h>=0,00287 м

S_h=0,000074 м

∆h=k*S_h=4,3*0,0074=0,0021 м

ε_h=0,0021/0,00287=0,0716=7,16%

ε_Jсист=√(ε_m)²+(ε_h)²+2·(ε_a)²+2·(ε_T)²

ε_Jсист=√(0,37)²+(7,16)²+2*(5,55)²+2·(3,7)²=11,62%

∆J_сист=0,007·0,1162=0,00081 кг·м²=8,1·10^-4 кг·м²;

Параллелепипед OX

ε_m=∆m/m; ∆m=√( t_p,N·S_m)²+( t_p,∞/3·δ)²; S_m0=√Σ(t_i-<t>)²/(N(N-1));

S_m=0,00045 кг

∆m=√( 2,8·0,00045)²+( 2/3·0,01)²=0,0042 кг

ε_m=0,0042/0,338=0,012=1,2%;

ε_h=∆h/<h>; ∆h=k*S_h,

<h>=0,0026 м

S_h=0,0000197 м

∆h=k*S_h=0,0000197·2,8=0,000054 м

ε_h=0,000052/0,002602=0,02=2%

ε_Jсист=√(ε_m)²+(ε_h)²+2·(ε_a)²+2·(ε_T)²

ε_Jсист=√(1,2)²+ (2)²+2*(5,55)²+2·(2,45)²=8,89%

∆J_сист=0,0046·0,0889=0,0004 кг·м²=4·10^-4 кг·м²

Параллелепипед OY

ε_m=∆m/m; ∆m=√( t_p,N·S_m)²+( t_p,∞/3·δ)²; S_m0=√Σ(t_i-<t>)²/(N(N-1));

S_m=0,00045 кг

∆m=√( 2,8·0,00045)²+( 2/3·0,01)²=0,0042 кг

ε_m=0,0042/0,338=0,012=1,2%;

ε_h=∆h/<h>; ∆h=k*S_h,

<h>=0,0026 м

S_h=0,0000197 м

∆h=k*S_h=0,0000197·2,8=0,000054 м

ε_h=0,000052/0,002602=0,02=2%

ε_Jсист=√(ε_m)²+(ε_h)²+2·(ε_a)²+2·(ε_T)²

ε_Jсист=√(1,2)²+ (2)²+2*(5,55)²+2·(2,28)²=8,8%

∆J_сист=0,0048·0,088=0,00042 кг·м²=4,2·10^-4 кг·м²

Параллелепипед OZ

ε_m=∆m/m; ∆m=√( t_p,N·S_m)²+( t_p,∞/3·δ)²; S_m0=√Σ(t_i-<t>)²/(N(N-1));

S_m=0,00045 кг

∆m=√( 2,8·0,00045)²+( 2/3·0,01)²=0,0042 кг

ε_m=0,0042/0,338=0,012=1,2%;

ε_h=∆h/<h>; ∆h=k*S_h,

<h>=0,0026 м

S_h=0,0000197 м

∆h=k*S_h=0,0000197·2,8=0,000054 м

ε_h=0,000052/0,002602=0,02=2%

ε_Jсист=√(ε_m)²+(ε_h)²+2·(ε_a)²+2·(ε_T)²

ε_Jсист=√(1,2)²+ (2)²+2*(5,55)²+2·(2,06)²=8,69%

∆J_сист=0,0044·0,0869=0,00038 кг·м²=3,8·10^-4 кг·м²

5. Определяем относительную и абсолютную погрешности момента инерции тела.

∆J_т=√(∆J₀)²+( ∆J_сист)² , кг·м² (15)

ε_Jт=∆J_т/J_т

Диск

∆J_т=√(0,00045)²+(0,00065)²=0,00079 кг·м²=7,9·10-4 кг·м²

ε_Jт=0,0079/0,0018=0,438=4,38%

Кольцо

∆J_т=√(0,00045)²+(0,00081)²=0,00092 кг·м²=9,2·10-4 кг·м²

ε_Jт=0,0092/0,029=31,7%

Параллелепипед OX

∆J_т=√(0,00045)²+(0,0004)²=0,0006 кг·м²=6·10-4 кг·м²

ε_Jт=0,0006/0,0005=120,4%

Параллелепипед OY

∆J_т=√(0,0045)²+(0,00042)²=0,00062 кг·м²=6,2·10-4 кг·м²

ε_Jт=0,00062/0,0007=87,9%

Параллелепипед OZ

∆J_т=√(0,00045)²+(0,00038)²=0,00059 кг·м²=5,9·10-4 кг·м²

ε_Jт=0,00059/0,0003=196%

Полученные результаты статистической обработки косвенных измерений занесем в таблицу:

Таблица 5

Тело	εJсист %	∆Jсист кг·м² 10-4	∆Jт кг·м² 10-4	εJт %	εT %	∆T,с 10-2	εJ0 %	∆J0, кг·м² 10-4
Пустая платформа					2,4	0,11	10,9	4,5
Диск	11,79	6,5	7,9	4,38	2,5	6,6
Кольцо	11,62	8,1	9,2	31,7	2,06	5,9
Параллелепипед OX	8,89	4,0	6,0	120,4	2,45	8,6
Параллелепипед OY	8,80	4,2	6,2	87,9	2,28	8,3
Параллелепипед OZ	8,69	3,8	5,9	196,3	2,06	7,1