ФИЗИКА 1 семестр / Отчёты 1 семестр / Триф. подвес

Нижегородский Государственный Технический Университет

Выксунский филиал.

Кафедра общей и прикладной физики.

Лабораторная работа: 1-3.

"Определение момента инерции методом трифилярного подвеса".

Выполнил: Зеленцов С.

Группа: ЭПА-04.

Проверил: Маслов В.П.

2004 год.

Введение

Актуальность работы. В природе и технике весьма распространённым является вращательное движение, которое описывается в физике основным законом динамики вращательного движения. Этот закон в случае неподвижной оси вращения можно рассматривать как аналог 1 закона Ньютона, в котором роль меры инертности играет момент инерции абсолютного твердого тела. Расчёт момента инерции твёрдого тела относительно произвольной оси является в общем случае сложной математической задачей. Для решения этой задачи часто удобнее использовать экспериментальные методы.

Цель работы. Экспериментальное определение момента инерции диска, цилиндра, кольца и параллелепипеда относительно главных осей инерции этих твердых тел; исследование зависимости момента инерции от распределения массы тела относительно оси вращения; экспериментальная проверка теоремы Штейнера.

Практическая ценность. В работе изучается используемый в практике метод измерения момента инерции твёрдых тел. В процессе работы студенты получают навыки измерения момента инерции твёрдых тел методом крутильных колебаний трифилярного подвеса и умение рассчитывать момент инерции относительно осей симметрии тела.

Экспериментальная часть.

1. Выбор метода эксперимента.

В данной работе момент инерции тела определяется при помощи трифилярного подвеса. Трифилярный подвеса представляет собой круглую платформу, подвешенную на 3 симметрично расположенных проволоках, укреплённых у краёв платформы. Наверху эти проволоки также симметрично прикреплены к трём точкам треноги, расположенным по окружности меньшего радиуса. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к её плоскости и проходящей через её середину: центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебаний определяется моментом инерции платформы. Он будет другим, если платформу нагрузить каким-либо телом. Этим и пользуются в настоящей работе.

Если платформа массой m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то вся потенциальная энергия в крайнем верхнем положении.

П=mgh;

Где g-ускорение свободного падения тела.

Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией, равной:

Eк=JW_o² /2;

Где J-момент инертности платформы; W_o-угловая скорость в момент достижения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основание закона сохранения механической энергии имеем:

0,5JW_o²=mgh;

Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можно написать зависимость угла поворота платформы от времени:

a=a_osin( 2_x/T)t;

где a-мгновенное значение угла поворота платформы; a_o-амплитудное значение угла поворота; T-период полного колебания; t-время.

Угловая скорость W является первой производной от угла поворота α по времени

W=da/dt=(2_/T)a_o; cos(2+/T)t.;

В момент прохождения через положение равновесия абсолютное значение угловой

скорости будет максимальным:

w_o=(2_a_o/T);

Подставляя это значение в уравнение, получим:

mgh=0,5J(2__o/T)²;

Откуда J=mghT²/2(_o)²_;

По этой формуле может быть определён момент инерции платформы и тела, положенного на неё, так как все величины в правой части могут быть непосредственно измерены. В случае нагруженной платформы массу m берут равной сумме масс платформы и тела.

Вычисленный момент инерции системы J_сист. складывается из момента инерции пустой платформы и тела:

J_сист. =J_o+J_T; J_T=J_сист.+J_o.;

Описание экспериментальной установки.

Платформа в нерабочем положении арретирована, т.е. покоится на столике, который можно опускать и поднимать, закрепляя на нужной высоте с помощью специального винта на штативе. Вращательный импульс необходимый для начала крутильных колебаний сообщается платформе путем поворота треноги вокруг её оси с помощью шнура, приводящий в движение рычажок, связанный с треногой. Этим достигается почти полное отсутствие других не крутильных колебаний, затрудняющих измерение.

Определение момента инерции тела опытным путём.

Имеем:

m_{платформы}=0,325;0.326;0.326;0.327;0.325. m_c=0.326кг.

m_{параллелеп}=0,422;0, 419;0,419;0,419;0,418. m_c=0.419кг.

m_диска=1,098; 1.096;1.094;1,098;1,103. . m_c= 1.097 кг.

m_кольца= 1,098;1,105;1,104;1,103;1,104. . m_c= 1.104 кг.

Экспериментальное измерение:

N=3-кол-во измерений для каждого тела.

n=30-кол-во полных колебаний.

Усредняем результаты измерения времени по формуле

t= 1/N(t)=t₁+t₂+t₃/3;

<t>_диска=79,6сек. <t>_{платформы}=135cек.

<t>_кольцо=86,1сек.

<t>_{парал.OX}=106.2сек.

<t>_{парал.OY}=104.1сек.

<t>_{парал.OZ}=99.7сек.

Результаты расчётов.

Тело	t	T
Пустая платформа	135	4,5
Диск	79,6	2,7
Кольцо	86,1	2,87
Параллелепипед ox	106,2	3,45
Параллелепипед oy	104,1	3,47
Параллелепипед oz	99,7	3,32

J_o=mgh<T>²/2(πa_o)²=кг. м²

где h=0,00265 м – высота подъёма платформы при повороте на угол α_o определяется с помощью индикатора до 1,0·10^-2 мм g=9,81-ускорение свободного падения.

π=3,14

α_o=π/2±π/36 угол поворота платформы

m=0,326кг масса платформы.

J_o=0,326•9,81•0,00265•<T>²/2•(3,14•1,57)²=

Расчет момента инерции нагруженной платформы J_сист. по формуле

Jсист= m_сист.•g•h•<T_T>/2•(π•α_o),кг•м²;

Определим момент инерции диска, кольца и параллелепипеда по формуле

J_T= J_сист.-J_o=…кг•м²

Параллелепипед OZ

Статистическая обработка результатов измерений.

1.Определение абсолютной погрешности t изменение времени

t =t _Р,N·S_t;

где t_Р,N=4,3 коэффициент Стьюдента, при N=3 (вероятность 95%).

Тело	J0, кг×м2	Jсист, кг×м2	Jт, кг×м2
Пустая платформа	0,007	0.02044	0.01344
Диск	0,007	0.0097	0.0027
Кольцо	0,007	0.0101	0.0031
Параллелепипед ox	0,007	0.00831	0.00131
Параллелепипед oy	0,007	0.00821	0.00121
Параллелепипед oz	0,007	0.0075	0.0005

S_t=√ (St^١)²+(S_u^۱۱)² ;

где S_t^۱- погрешность изм. величины.

S_u^۱۱-инструментальная погрешность.

S^۱_t=√E(t_i-<t>)²/N(N-1);

S_u^۱۱=0,1 мм=0,001м – инстр. погрешность

2.Определение относительной погрешности E_t изменение времени для каждого тела

E_t=∆t/<t>

Пустая платформа: S۱_t=2.44 Параллелепипед OX

S_t= 2.4 S۱_t=1.22

∆t=10.5 S_t=1.22

E_t=0.08 ∆t=5.25

Диск: E_t=0.05

S۱_t= 1.102 Параллелепипед OY

S_t=1.1 S۱_t=1.5

∆t=4.73 S_t=1.5

E_t=0.06 ∆t=6.45

E_t=0.06

Кольцо: Параллелепипед OZ

S۱_t= 0.04 S۱_t=0.33

S_t=0.05 S_t=0.3

∆t=0.215 ∆t=1.29

E_t=0.002 E_t=0.01

Результаты в таблице:

Тело	St	∆t, с	Et%
Пустая платформа	2.44	10.5	0.08
Диск	1.1	4.73	0.06
Кольцо	0.05	0.215	0.02
Параллелепипед ox	1.22	5.25	0.05
Параллелепипед oy	1.5	6.45	0.06
Параллелепипед oz	0.3	1.29	0.01

Статистическая обработка результатов косвенных измерений.

1. Определение относительной погрешности Е_t первого колебания.

E_t=√E_t²+E_n²;

где Еn-относительная погрешность изменение

E_n= ∆t/<n>;

2.Определение абсолютной погрешности ∆T изменение периода колебания

∆T=E_T∙ <T>,

Пустая платформа

E_T=0.6

∆T=2.7

Диск E_T=0.41

∆T=1.107

Кольцо

E_T=0.09

∆T=0.256

Параллелепипед OX ∆T=1.45

E_T=0.42

Параллелепипед OY ∆T=1.63

E_T=0.47

Параллелепипед OZ ∆T=0.69

E_T=0.207

Пустая платформа:

<R>=R₁+K/5;

S_n=√ (S^'_K)²+(S^"_K)²=….

где S^"_K=0,1 мм=0,0001м – инстр. погрешность

ΔR=<R>• S_K.;

где K=2,78(довер. вер. P=95%), при N=5;

J_пл.^теор. = m•R²/2=…кг. •м².

Диск:

J_Д.^теор. = m•R²/2=….

Кольцо:

J_П^теор= m•(a²+b²)/2=…кг. м³

J_П^теор= m•(b²+c²)/2=…кг. м³

J_П^теор= m•(a²+c²)/2=…кг. м³

Определение

относительной и абсолютной погрешности.

EJ_T=√(Δm/m)²+[Δ(a²+b²)/(a²+b²)]

где Δ(a²+b²)=2√(a•Δa)²+(b•Δb)²;

Вывод: В ходе лабораторной работы был определен экспериментально и теоретически момент инерции диска, кольца и параллелепипеда. Сравнивая практические и теоретические значения можно увидеть, что практические результаты оказались завышенными (в пределах погрешностей). Это объясняется тем, что платформу с телом, при крутильных колебаниях, действовала сила сопротивления воздуха. Также это объясняется невысокой точностью прибора измерения времени.

<t>_{платформы}=135сек.

Определяем средний период колебания

T=t/n, с

<T>_диска= 2,7сек.

<T>_кольцо=2.87 сек.

<T>_{платформа}= 4.5сек.

<T>_{парал.OX}=3.54 сек.

<T> _{парал.OY} =3.47 сек.

<T> _{парал.OZ} =3.32сек.

St _{п. пл.} =√ (135-136) ²+(136.5-136) ²+(136.5-136) ²/3*(3-1)=√1+0.5²+0.5²/6=√0.25=0.5

St_к.= √ (85.6-86.066) ²+(86-86.066) ²+(86.6-86.066) ²=√0.217156+0.004356+0.285156=

=0.2905935

St_д.= √ (78.6-79.6) ²+(80.7-79.6) ²+(81.2-79.6) ²/6=√4+1.21+2.56/6=0.8916272

St_OX=√ (103.7-105.9) ²+(107.2-105.9) ²+(103.2-105.9) ²/6=√1.96+1.69+7.29=1.3503

St_OY=√ (102.7-102.466) ²+(102.4-102.466) ²+(102.3-102.466) ²/6=√0.054756+0.004356+

+0.027556/6=0.12018

St_OZ=√ (100.5-99.7) ²+(100.4-99.7) ²+(98.2-99.7) ²/6=√0.64+0.49+2.25/6=0.75055

Δt_п.пл. = √ (2.8*0.5) ²+(2.8/3*0.005) ²=√4.6225+0.7534=1.4

Δt_к. = √ (2.8*0.294) ²+(2.8/3*0.93) ²=√1.5982+0.7534=0.8232

Δt_д. = √ (2.8*0.892) ²+0.7534=2.498

Δt_OX=√ (2.8*1.350) ²+0.75346=3.78

Δt_OY=√ (2.8*1.1202) ²+0.753424=3.14

Δt_OZ=√ (2.8*0.751) ²+0.753424=2.1028

En=Δn/<n> <n>=30+30+30/3=30

Δn=√(t_P,N*St)²+(P,Wo/3*Ơ)²

St=√ (30-30) ²+(30-30) ²+(30-30) ²/6=0

Δn=√ (p, ∞/3*Ơ) ²=√ (2.96*0.93/3*0.005) ²=0.003

En=0.868/30=0.0289

Et_п.пл. = √Et²+En²=√0.0001+0.369177=0.36927

Et_к. = √0.0003+0.369177=0.3692

Etд. =√0.006448+0.369=0.06

Et_OX=√0.036+0.00083=0.03

Et_OY=√0.036+0.00083=0.03

Et_OZ=√0.021+0.00083=0.02

<R>=R₁+R₂+R₃+R₄+R₅/5

S_R=√0.001²+0.002+0.001²+0.002²/20

ΔR=√ (4.3*0.0007) ²+(2.8*0.93/3)=0.0007

Er=Δr/<r>

Sr=√0.002²+0.002²+30.001²/20=0.0007

<r>=0.033

Δr=√ (4.3*0.0007) ²+0.00002=√0.000009+0.00002=0.0053

Er=0.0053/0.033=0.1606

Em_o=Δm/<m>

<m>=0.355

Sm=√ (0.357-0.355) ²+(3*0.001) ²+0.356-0.355) ²/20=√0.000004+0.000004/20=0.0006

Δm=√ (4.3*0.0006) ²+0.07534=√0.0000073+0.0002=0.005224

Em_o=0.005224/0.355=0.014718

Sm_{к. и пл.} = √ (0.004) ²+(0.001) ²+(0.001) ²+(0.001) ²+(0.002) ²/20=0.0010488

Δm_{к. и пл.}= √(4.3*0.00104)2+0.00002=0.0065

Em _{к. и пл.} =0.0065/1.461=0.00449

Ejo=√Em²+Er²+ER²+El²+(2E_T) ²=√ (0.014718) ²+(0.1606) ²+(0.0373) ²+(0.0051) ²+

+(0.0335) ²=√0.0002166+0.0257923+0.0013912+0.000026+0.00441888 =0.1786695

ΔJo=Jo*Ejo=0.7786695*0.000729=0.0001302

ΔJ_O=√AJ₀²=AJ₀=0.0001302

EJ_0К=√ Em²+Er²+E_R²+El²+(2E_T) ²=√ (0.00449) ²+(0.1606) ²+(0.0373) ²+(0.0051) ²+4(0.0339) ²=

√0.0000201+0.0257923+0.0013912+0.000026+0.00459618=0.1783975

ΔJ_K=J_СИСТ·E_JK=0.178395*0.0018153=0.0003238

EJo=√Em²+Er²+ER²+El²+(2E_T) ²=√ (0.0040702) ²+(0.4606) ²+(0.0373) ²+(0.0051) ²+4(0.0853) ²=

= √0.0000165+0.0257923+0.0013912+0.000026+0.029104=0.2373394

ΔJ_Р=J_сист*E_JP=0.0016681*0.23733945=0.0003959

EJ_п-да=√ Em²+Er²+E_R²+El²+(2ET) ²=√ (0.0925375+0,000026+0,0257923+0,0013912+0,0155748=0,367864

ΔJ_{па-р лёжа}= J_сист*E_J=0,36788611+0,0013145=0,0004835

E_{J па-р на ребр}=√ Em²+Er²+E_R²+El²+(2E_T) ²=√ (0.000026+0,0257923+0,0013972+0,0037208+0,0926762=0,3515771

ΔE_{J па-р на ребр}=J_сист*E_J=0.3515771*0.0012717=0.0004471

E_{J па-р на торце}=√ Em²+Er²+E_R²+El²+(2ET) ²=√ (0,0926762+0,000026+0,0257923+0,0013912+0,0078144=0,3573515

ΔJ_сист=J_сист*E_сист=0,3573515*0,0012374=0,0004421

Sm_R=√ (1.108-1.106) ²+8(0.001) ²/20=0.0005447

Δm=√ (4.3*0.0005447) ²+0.00002=0.00050497

Em_R=0.00050497/1.106=0.000456557

Em_R= Δm/<m>

Sm=√ (1.096-1.096) ²+(1.097-1.096) ²+(0.001) ²/20=0.0005477

Δm=√ (4.3*0.0005477) ²+0.00002=0.00050398

Em_R=0.00050398/1.096=0.0004597

Em па-да=√ (0.0337-0.0353) ²+(0.936-0.3531) ²+(0.936-0.353) ²+(0.335-0.353) ²+(0.422-0.953) ²/20=√0.0000025+0.0000056+0.0000032+0.0000476/20=√0.0000029=0.00053851

Δm=√ (4.3*0.00053851) ²+0.00002=√0.0005361+0.00002=0.00050299

Em па-да=0.00050299/0.353=0.014249

Ejk=√0.0002302+0.0257923+0.000026+0.001+0.00459668=0.1789874

∆J=0.1789874*0.001853=0.0003316

∆Jk=√ (0.0003316) ²+(10.0001302) ²=0.000356245

Ejдиска=√0, 0257923+0,0013912+0,000026+0,029104+0,0000023=0,2373095

∆Jт=√(0.0003953)²+(0.0001302)²=0.0004466

E_Jпар-да=√0.0008803+0.000026+0.0257923+0.0013912+0.00154256=0.2036034

∆Jсист=0.2036034*0.0013145=0.0002742

∆J=√(0.0002742)²+(0.0001302)²=0.0003035