3.Статистическая обработка результатов прямых измерений.

Определяем абсолютную погрешность измерения времени:

∆t=√( t_p,N·S_t)²+( t_p,∞ ·δ /3)², с

где t_p,N=2,8; t_p,∞=2 –соответствующие коэффициенты Стьюдента;

при N=5 (доверительная вероятность 95%);

δ=0,5 с – точность секундомера;

S_t=√ (S_t')²+( S_и")² ;

где St – среднеквадратичное отклонение;

S_t' – случайная погрешность измерений величины

S_и"=0,5 – инструментальная погрешность;

S_t'=√Σ(t_i-<t>)²/(N(N-1)),

Определяем относительную погрешность ε_t измерения времени для каждого тела:

ε_t=∆t/<t>,

Пустая платформа

S_t'=√((137-135,5)²+(136-135,5)²+(132,5-135,5)² +(136,5-135,5)² +0)/ /(5(5-1))=7,91·10^-1;

S_t=√(0,791)²+(0,5)²=9,36·10^-1;

∆t=√(2,8·0,936)²+(2·0,5 /3)²=2,64 с;

ε_t=2,64/135,5=0,019=1,9%;

Диск

S_t'=√((82,5-83,5)²+(84-83,5)²+(83-83,5) +0 +(84,5-83,5)²)/20=3,53·10^-1;

S_t=√(0,353)²+(0,5)²=6,12·10^-1;

∆t=√(2,8·0,612)²+(2·0,5/3)²= 1,75с;

ε_t=1,75/83,5=2,1%;

Кольцо

S_t'=√((87-87,1)²+(85,5-87,1)²+(88,5-87,1)² +(87,5-87,1)² +(87-87,1)²)/20=4,85·10^-1;

S_t=√(0,485)²+(0,5)²=6,97·10^-1;

∆t=√(2,8·0,697)²+(2·0,5/3)²=1,98 с;

ε_t=1,98/87,1=0,0227=2,27%;

Параллелепипед OX

S_t'=√((107-108,1)²+(109-108,1)²+(108,5-108,1)² +(106,5-108,1)² +(109,5-108,1)²)/20=5,79·10^-1;

S_t=√(0,579)²+(0,5)²=7,65·10^-1;

∆t=√(2,8·0,765)²+(2·0,5/3)²=2,17 с;

ε_t=2,17/108,1=0,0201=2,01%;

Параллелепипед OY

S_t'=√((105-104,5)²+(104-104,5)²+0)/20=1,58·10^-1;

S_t=√(0,158)²+(0,5)²=5,24·10^-1;

∆t=√(2,8·0,524)²+(2·0,5/3)²=1,5 с;

ε_t=1,5/104,5=0,0144=1,44%.

Параллелепипед OZ

S_t'=√(1²+1+0+2·0,5)/20=3,54·10^-1;

S_t=√(0,354)²+(0,5)²=6,13·10^-1;

∆t=√(2,8·0,613)²+(2·0,5/3)²=1,79 с;

ε_t=1,79/102=0,0175=1,75%.

Результаты расчетов сведем в таблицу:

Таблица 4

Тело	St	∆t, с	εt, %
Пустая платформа	9,36·10-1	2,64	1,9
Диск	6,12·10-1	1,75	2,1
Кольцо	6,97·10-1	1,98	2,27
Параллелепипед OX	7,65·10-1	2,17	2,01
Параллелепипед OY	5,24·10-1	1,5	1,44
Параллелепипед OZ	6,13·10-1	1,79	1,75

4.Статистическая обработка результатов косвенных измерений.

1. Определяем относительную погрешность ε_t измерения периода колебаний:

ε_T=√ε_t²+ε_n², (8)

где ε_n – относительная погрешность измерения числа полных колебаний n

ε_n=∆n/<n>, (9)

при ∆n=0,15<0,25, ε_n=0,5%

2. Определяем абсолютную погрешность ∆T измерения периода колебаний:

∆T=ε_T·<T>, с (10)

Пустая платформа

ε_T=√(1,9)²+(0,5)²=1,96%;

∆T=0,0196·4,52=8,8·10^-2с;

Диск

ε_T=√(2,1)²+(0,5)²=2,16%;

∆T=0,0216·2,78=6·10^-2с;

Кольцо

ε_T=√(2,27)²+(0,5)²=2,32%;

∆T=0,0232·2,9=6,8·10^-2с;

Параллелепипед OX

ε_T=√(2,01)²+(0,5)²=2,07%;

∆T=0,0207·3,6=7,5·10^-2с;

Параллелепипед OY

ε_T=√(1,44)²+(0,5)²=1,52%;

∆T=0,0152·3,48=5,3·10^-2с;

Параллелепипед OZ

ε_T=√(1,75)²+(0,5)²=1,82%;

∆T=0,0182·3,4=6,2·10^-2с;

3. Определяем относительную и абсолютную погрешности полученного экспериментального момента инерции платформы:

ε_J0=√ε_m0²₊ 2ε_a²₊ ε_h0² ₊ 2·(ε_T)² , (11)

ε_a= ∆a₀·100%/ a₀,

где ∆a₀=π/36 – абсолютная погрешность;

a₀=π/2±π/36 – угол поворота пустой платформы;

ε_a=(3,14/36)/(3,14/2)·100%=5,55%;

ε_m0=(∆m₀/<m₀>)·100% ,

∆m=√( t_p,N·S_m)²+( t_p,∞ ·δ /3)², кг

S_m=√Σ(m_i-<m>)²/(N(N-1)), кг

S_m0=√(3·0,0004²+2·0,0006²)/20=2,45·10^-3 кг

∆m=√( 2,8·0,00245)²+( 2 ·0,001 /3)²=6,89·10^-3 кг

ε_m=(0,00689/0,359)·100%=1,92%

ε_h=(∆h/<h>)·100%,

∆h=√( t_p,N·S_h)²+( t_p,∞ ·δ /3)², м

S_h=√Σ(h_i-<h>)²/(N(N-1)), м

S_h0=√(0,02²+0,08²+0,05²+0,02²+0,01²)/20=2,21·10^-5м;·

∆h₀=√( 2,8·0,0221)²+( 2·0,01 /3)²=6,22·10^-5 м

ε_h0= 0,0622/2,38=2,61%;

ε_J0=√(1,92)²+2·(5,55)² + (2,61)²+ 2·(1,96)² =8,93%;

∆J₀= J₀· ε_J0, кг·м² (12)

∆J₀=0,00352·0,0893=3,1·10^-4кг·м²;

4. Аналогично определяем относительную и абсолютную погрешности момента инерции системы (платформы с телом):

ε_Jсист=√ε_mсист²+ 2·ε_a²+ ε_h²+2·(ε_T)² (13)

∆J_сист= J_сист· ε_Jсист, кг·м² (14)

Диск

ε_Jсист=√0,09²+2·5,55²+3,36²+ 2·2,16² =9,07%

∆J_сист=0,00414·0,0907=3,75·10^-4 кг·м²

Кольцо

ε_Jсист=√0,11² +2·5,55² + 3,36²+2·(2,32)² =9,15%

∆J_сист=0,00453·0,0915=4,1·10^-4 кг·м²

Параллелепипед OX

ε_Jсист=√0,23²+2·5,55+2·(2,07)²+1,53²=8,52%

∆J_сист=0,004206·0,0852=3,58·10^-4 кг·м²

Параллелепипед OY

ε_Jсист=√0,23²+2·5,55+2·(1,52)² +1,53²=8,28%

∆J_сист=0,00393·0,0828=3,25·10^-4 кг·м²

Параллелепипед OZ

ε_Jсист=√0,23²+2·5,55²+2·(1,82)² +1,53²= 8,4%

∆J_сист=0,00375·0,084=3,15·10^-4 кг·м²

5. Определяем относительную и абсолютную погрешности момента инерции тела.

∆J_т=√(∆J₀)²+( ∆J_сист)² , кг·м² (15)

ε_Jт=∆J_т/J_т ,%

Диск

∆J_т=√(0,00031)²+(0,000375)²=4,87·10^-4 кг·м²

ε_Jт=0,000487/0,00062=7,855·10%

Кольцо

∆J_т=√(0,00031)²+(0,00041)²=5,1·10^-4 кг·м²

ε_Jт=0,00051/0,00101=5,05·10%

Параллелепипед OX

∆J_т=√(0,00031)²+(0,000358)²=4,7·10^-4 кг·м²

ε_Jт=0,00047/0,000684=6,871·10%

Параллелепипед OY

∆J_т=√(0,00031)²+(0,000325)²=4,5·10^-4 кг·м²

ε_Jт=0,00045/0,000414=1,08·10²%

Параллелепипед OZ

∆J_т=√(0,00031)²+(0,000315)²=4,42·10^-4 кг·м²

ε_Jт=0,000442/0,00023=1,92·10²%

Полученные результаты статистической обработки косвенных измерений занесем в таблицу:

Таблица 5

Тело	εJсист%	∆Jсист, кг·м²	∆Jт, кг·м²	εJт%	εT%	∆T,с
Пустая платформа			3,1 ·10-4	8,93	1,96	8,8·10-2
Диск	9,07	3,75·10-4	4, 87·10-4	7,855·10	2,16	6·10-2
Кольцо	9,15	4,1·10-4	5,1·10-4	5,05·10	2,32	6,8·10-2
Параллелепипед OX	8,52	3,58·10-4	4,7·10-4	6,871·10	2,07	7,5·10-2
Параллелепипед OY	8,28	3,25·10-4	4,5·10-4	1,08·102	1,52	5,3·10-2
Параллелепипед OZ	8,4	3,15·10-4	4,42·10-4	1,92·102	1,82	6,2·10-1