1. Пределы
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ПРЕДЕЛЫ
§1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1.Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
2.Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
3.Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
4.Теорема о пределе промежуточной функции.
5.Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cosx.
6.Первый замечательный предел limsin x 1.
x 0 x
7. Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно
малой.
8.Теорема о сумме бесконечно малых функций.
9.Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.
10.Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел, отличный от нуля.
11.Теорема о пределе суммы.
12.Теорема о пределе произведения.
13.Теорема о пределе частного.
14.Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
15.Непрерывность суммы, произведения и частного.
16.Непрерывность сложной функции.
17.Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно
малыми.
18.Сравнение бесконечно малых функций.
19.Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными.
20.Условие эквивалентности бесконечно малых функций.
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§ 1.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ |
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1. Доказать, что если lim a |
a, то lim |
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a |
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a |
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. Вытекает ли из существования |
lim |
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a |
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n n |
n |
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n |
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n |
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n |
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существование lim an? n
У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство
b a b a .
2. Доказать, что последовательность n2 расходиться.
1
3. |
Сформулировать на языке |
« » утверждение: «Число |
|
A не |
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является пределом в точке x0 |
функции |
f x , определенной в окрестности точки x0 ». |
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4. |
Доказать, что если f x |
непрерывная функция, F x |
|
f x |
|
есь также непрерывная функция. |
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Верно ли обратное утверждение?
5. Сформулировать на языке « » утверждение: «Функция f x , определенная в окрестности точки
x0 , не является непрерывной в этой точке».
6. |
Пусть |
lim f x 0, |
а |
lim |
x не |
существует. |
Доказать, что |
lim |
f x x |
не |
|||||||||||
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x x0 |
|
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x x0 |
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x x0 |
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существует. |
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У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного. |
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7. |
Пусть функция f x имеет предел |
в точке |
x0 , а функция x не имеет предела. Будут ли |
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существовать пределы: |
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1) |
lim f x x ; |
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2) lim f x x ? |
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|||||||
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x x |
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x x |
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||
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0 |
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0 |
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Рассмотреть пример: lim xsin |
1 |
. |
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x 0 |
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x |
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8. |
Пусть |
lim f x 0, |
а |
функция |
x |
бесконечно большая при x |
x0. Доказать, |
что |
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x x0 |
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произведение f x x |
является бесконечно большой функцией при x x0. |
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9. |
Является ли бесконечно большой при x |
0 функция |
1 |
cos |
1 |
? |
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x |
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x |
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x |
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10. Пусть x x и |
x x при x x0 |
. Доказать, что если |
lim |
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не |
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x x0 x |
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|||
существует, то lim |
x |
тоже не существует. |
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x x0 x |
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§ 1.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ |
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Задача 1. Доказать, что lima |
a (указать N ). |
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3n 2 |
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3 |
n |
n |
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4n 1 |
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1.1. a |
n |
|
, |
a |
. |
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1.2. a |
n |
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|
, |
a 2. |
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2n 1 |
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2n 1 |
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|
2 |
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|
2
1.3. a |
n |
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7n 4 |
, |
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a |
7 |
. |
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2n 1 |
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2 |
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1.5. a |
n |
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7n 1 |
, |
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a 7. |
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n 1 |
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1.7. |
a |
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9 n3 |
, |
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a |
1 |
. |
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n |
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1 2n3 |
|
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|
2 |
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1.9. |
a |
1 2n2 |
, |
a |
1 |
. |
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n |
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2 4n2 |
2 |
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1.11. a |
n |
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n 1 |
, |
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a |
1 |
. |
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1 2n |
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2 |
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1.13. a |
1 2n2 |
|
, |
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a 2. |
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n2 3 |
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|
n |
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1.15. a |
n |
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n |
, |
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a |
1 |
. |
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3n 1 |
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3 |
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1.17. a |
n |
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|
4 2n |
, |
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a |
2 |
|
. |
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1 3n |
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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3 n2 |
|
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|
1 |
|
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||||||||||||||
1.19. a |
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
, |
|
a |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
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1 2n2 |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
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|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
1.21. a |
n |
|
|
3n 1 |
, |
|
a |
3 |
. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
5n 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1.23. a |
1 2n2 |
|
, a |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 4n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1.25. a |
n |
|
2 2n |
, |
a |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4n |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1.27. a |
n |
|
1 3n |
, |
a 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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6 n |
|
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1.4. an |
|
2n 5 |
, |
a |
2 |
. |
|
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|||||
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|
3n 1 |
3 |
|
|
1.6. |
a |
4n2 1 |
, |
|
|
|
a |
4 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
3n2 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1.8. a |
n |
|
|
4n 3 |
, |
|
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a 2. |
||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||
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1.10. an |
|
5n |
, |
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a 5. |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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n 1 |
|
|
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|
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|
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||||||||||
|
1.12. a |
n |
|
|
|
|
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|
2n 1 |
, |
|
|
a |
2 |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
3n 5 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1.14. a |
|
|
|
|
|
|
|
3n2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
a 3. |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 n2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1.16. a |
|
|
|
|
|
3n3 |
|
, |
|
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|
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a 3. |
|||||||||||||||||||
|
n3 1 |
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1.18. an |
|
|
|
5n 15 |
, |
|
a 5. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1.20. a |
n |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
, |
|
|
a |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3n |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
1.22. a |
n |
|
4n 3 |
, |
|
|
a 2. |
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.24. a |
n |
|
5n 1 |
, |
a |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1.26. an |
|
|
23 4n |
, |
|
a 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1.28. a |
n |
|
2n 3 |
, |
a 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.29. |
a |
|
3n2 2 |
, |
a |
3 |
. |
|||
4n2 1 |
|
|||||||||
|
n |
|
4 |
|||||||
1.31. |
a |
|
|
2n3 |
|
, |
|
a 2. |
||
|
n3 2 |
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
1.30. |
a |
2 |
3n2 |
, |
a |
3 |
. |
4 |
5n2 |
|
|||||
|
n |
|
5 |
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
2.1. lim |
3 n 2 3 n 2 |
. |
2.2. lim |
3 n 4 2 n 4 |
. |
|
|
|
1 n 4 |
||||
n 3 n 2 3 n 2 |
|
n 1 n 4 |
|
3
2.3. |
lim |
|
|
3 n 4 2 n |
4 |
. |
|||
|
|
|
1 n 3 |
||||||
|
n 1 n 3 |
|
|||||||
2.5. |
lim |
6 n 2 6 n |
2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
1 n 2 |
||||||||
|
n 6 n 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 2n |
3 8n3 |
|
|
|
|
2.7. |
lim |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
n 1 2n 2 4n2 |
|
|
|
|||||
2.9. |
lim |
3 n 3 |
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
n 1 3 |
|
|
||||||
|
n n 1 2 |
|
|
|
|
2 |
n 1 |
3 n 2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
2.11. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
n2 2n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.13. |
lim |
|
|
n 3 3 n 4 |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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|
n 4 4 |
|
|
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|
|
||||||||
|
n n 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.15. |
lim |
|
8n3 |
2n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
n 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n n 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2.17. |
lim |
|
|
2n 3 3 n 5 3 |
. |
|||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 3n 1 3 2n 3 3 |
|
|
|
||||||||||||
2.19. |
lim |
2n 1 3 3n 2 3 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 2n 3 3 n 7 3 |
|
|
|
||||||||||||
2.21. |
lim |
|
2n 1 |
3 2n 3 3 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 2n 1 2 2n 3 2 |
|
|
|
||||||||||||
2.23. |
lim |
n 2 4 n 2 4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
|
|
n 5 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n n 5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.25. |
lim |
n 1 3 n 1 3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.27. |
lim |
|
|
n 2 3 n 2 |
3 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n4 2n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.29. |
lim |
|
|
n 1 3 n 1 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
|
|
lim |
1 n 4 1 n 4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n 1 n 3 1 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.6. |
lim |
n 1 3 n 1 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n n 1 3 n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2.8. |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
3 4n 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n n 3 3 n 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 2 n 1 |
2 n 2 3 |
||||||||||||||||
|
2.10. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
4 n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2.12. |
lim |
|
|
|
n 1 3 n 2 3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n 5 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n n 4 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2.14. |
lim |
n 1 4 n 1 |
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.16. |
lim |
|
|
n 6 3 n 1 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 2n 3 2 n 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2.18. |
lim |
|
|
|
n 10 2 3n 1 |
2 |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n n 6 3 n 1 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2.20. |
lim |
|
n 7 3 n 2 3 |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n 3n 2 2 4n 1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2.22. |
lim |
|
|
n3 n 1 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n n 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2.24. |
lim |
n 1 4 n 1 |
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n n 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.26. |
lim |
n 1 3 n 1 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n n 1 2 n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 3 n 1 3 |
|||
2.28. lim |
|
|
|
. |
|
n3 |
|
|
|||
|
n |
3n |
|||
|
n 2 2 n 2 2 |
||||
2.30. lim |
|
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
n |
n 3 |
|
4
|
2n 1 2 n 1 2 |
||
2.31. lim |
|
|
. |
n2 |
|
||
n |
n 1 |
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
|
n 3 |
5n2 |
4 9n8 1 |
|||||
3.1. lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
n n |
n |
|
|
7 n n2 |
3.3. lim n3 1 n 1. n 3n3 1 n 1
|
|
|
3n 1 |
3 125n3 n |
||||||||||
3.5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
n n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 2 |
||||||
|
|
|
|
n 2 |
|
|||||||||
3.7. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n4 4n4 1 3 n4 1
3.9.lim 6n3 n5 1.
n4n6 3 n
|
|
n |
4 3n 1 81n4 n2 1 |
|||||||||
3.11. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
n 3 |
n |
5 n n2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n5 3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n 3 |
||||||||
3.13. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n5 n5 3 n 3
3.15.lim 4n 1 327n3 4 .
n4n 3n5 n
|
|
3 |
n3 7 3 n2 4 |
||||||||||||||||||
3.17. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
4 n5 5 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4n2 4 n3 |
|||||||||||||||||
3.19. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 3 n6 n3 1 5n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
25n4 81 |
|||||||||||
|
|
11n |
|
||||||||||||||||||
3.21. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
n 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
n2 n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
n2 1 |
|||||||||||||||
3.2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n 3 3n3 3 4 n5 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n2 1 7n3 |
||||||||||||||||||
3.4. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n 4 n12 n 1 n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
5 |
|
3 27n6 n2 |
||||||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||||||
3.6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
9 n2 |
3.8. lim n4 2 n 2 . n 4n4 2 n 2
|
5n 2 3 8n3 5 |
|||
3.10. lim |
|
|
|
. |
4 |
|
|
||
n |
n 7 n |
|||
|
|
3.12. lim n 3 n2 3 .
n 3 n5 4 4 n4 1
3 |
n 9n2 |
||||
3.14. lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
n3n 4 9n8 1
3.16.lim n 37n 481n8 1.
nn 4n n2 5
3.18. lim n6 4 n 4 . n 5n6 6 n 6
3.20. lim n 3 38n3 3.
n 4n 4 5 n5 5
3 |
n2 |
|
n2 5 |
|||||
3.22. lim |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
n 5 n7 |
|
|
n 1 |
|
|
5
|
|
n7 |
5 |
n 5 |
3 |
n2 2 5n2 |
|||||||
3.23. lim |
|
|
|
|
|
. |
3.24. lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
n 7 n7 5 |
n 5 |
|
|
n n n4 n 1 |
|
|
|
n 2 3 |
|
n3 2 |
|
|
|
|
n 71n |
3 64n6 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.25. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
3.26. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
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n 7 |
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5 n5 2 |
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n |
n |
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11 n2 |
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n2 5 |
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n8 6 |
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n 6 |
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n 6 |
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3.27. |
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n 3 n3 3 4 n3 1 |
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n 8 n8 6 |
n 6 |
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3 |
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n2 n3 1 |
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n3 1 |
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n 1 |
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3.29. |
lim |
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. |
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3.30. |
lim |
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n 3 n6 2 n |
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n 4 |
n 1 |
5 n5 1 |
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3 |
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n 6 |
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n10 1 |
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lim |
n |
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n 4 |
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n |
n |
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3 n3 1 |
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Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
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n |
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n2 1 |
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n2 |
1 |
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4.1. |
lim n |
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3 |
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n |
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n3 5 |
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4.3. |
lim |
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n |
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n |
n. |
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n |
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n n2 5 |
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4.5. |
lim |
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n5 8 |
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3 |
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n |
4 n3 |
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4.7. |
lim |
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4.2. |
lim n |
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n n 2 |
n2 |
3 |
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4.4. |
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n |
2 |
n |
2 |
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4 |
9 |
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n |
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lim |
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1 |
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4.6. lim n2 3n 2 n .
n
4.8. lim |
n n 2 |
n2 2n 3 |
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n |
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4.9. lim |
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n 2 |
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n 1 |
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n |
1 |
n 3 . |
n |
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n5 |
8 |
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4.10. |
lim n2 |
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n4 1 |
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3 5 8n3 |
2n |
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4.11. |
lim n |
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3 |
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4.13. |
lim |
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n 2 2 |
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3 |
n 3 2 |
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n |
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4.15. lim n2 3n 2 n2 3 .
n
n |
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3 5 n3 |
3 3 n3 |
. |
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4.12. lim n2 |
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n 1 3 n n 1 n 3
4.14.lim .
n |
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n |
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n |
n 2 |
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n 3 |
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4.16. lim |
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6
4.17. |
lim |
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n n5 9 |
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n4 1 n2 5 |
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n n 5 |
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n3 |
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n3 2 |
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n3 1 |
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4.18. |
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4.20. |
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n3 1 n2 3 |
n n4 2 |
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n |
2 |
2 |
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n |
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n |
2 |
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n5 1 n2 1 |
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Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
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1 |
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2 |
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3 |
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n 1 |
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2n 2 |
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! |
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2n 1 ! |
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5.1. |
lim |
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... |
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. |
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5.2. lim |
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2 |
n |
2 |
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2 |
n |
2 |
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2n 3 ! |
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n n |
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n |
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1 3 5 7 ... |
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2n 1 |
2n |
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1 |
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5.3. |
lim |
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n 1 |
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2 |
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n |
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7
5.4. |
lim |
2n 1 3n 1 |
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n |
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2n 3n |
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5.6. |
lim |
1 3 5 ... 2n 1 |
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|||||||
n |
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1 2 3 .. n |
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1 3 5 7 ... 2n 1 |
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5.7. |
lim |
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n . |
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n 3 |
|||||||
n |
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5.9. |
lim |
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n 4 ! n 2 ! |
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n |
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n 3 ! |
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5.11. |
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2n |
5n 1 |
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5n 2 |
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n 2n 1 |
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5.5. lim 1 2 3 ... n.
n |
9n4 1 |
5.8. lim 1 4 7 ... 3n 2 .
n |
|
|
|
|
|
|
5n4 |
|
n 1 |
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5.10. |
lim |
|
3n 1 ! 3n 1 ! |
. |
||||||||||||||
|
|
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n |
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3n ! n 1 |
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1 |
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1 |
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2 |
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n |
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5.12. |
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3 |
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3 |
3 |
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1 |
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1 |
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52 |
|
5n |
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5 |
|
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|
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5.13. |
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1 3 5 7 |
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9 11 ... 4n 3 4n 1 |
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n2 1 n2 n 1 |
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5.14. |
lim |
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1 2 3 4 ... 2n 1 2n |
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|
n |
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9n4 1 |
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5.15. |
lim |
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3 n3 5 |
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3n4 2 |
. |
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5.16. |
lim |
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3n 2n |
. |
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n 1 3 5 ... |
2n 1 |
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n 3n 1 2n |
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n 2 |
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2 |
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5 13 |
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3n 2n |
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5.17. |
lim |
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. |
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5.18. |
lim |
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... |
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6 |
n |
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|
n |
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1 2 3 ...n |
3 |
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n |
6 36 |
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5.19. |
lim |
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2 5 4 7 ... 2n 2n 3 |
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5.20. |
lim |
2n 1 ! 2n 2 ! |
. |
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n |
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n 3 |
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n 2n 3 ! 2n 2 ! |
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1 2 ... n |
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n2 |
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1 |
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5.21. |
lim |
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. |
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5.22. |
lim |
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|
n |
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n n2 3 |
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n |
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n 2 7 12 .. 5n 3 |
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3 |
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5 |
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9 |
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1 2 |
n |
|
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lim |
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2 4 6 ... 2n |
. |
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5.23. |
lim |
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|
... |
|
. |
|
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5.24. |
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|
n |
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n |
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4 16 64 |
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4 |
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n 1 3 5 .. 2n 1 |
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1 5 9 13 ... 4n 3 |
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4n 1 |
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5.25. |
lim |
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n 1 |
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2 |
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n |
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8
5.26. |
lim |
1 2 3 4 ... 2n |
. |
|
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|
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|
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|||||||
|
n |
|
|
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3 n3 2n 2 |
|
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5.28. |
lim |
|
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n! n 2 ! |
. |
|
|
|
|
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n n 1 ! n 2 ! |
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|
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7 |
|
|
|
29 |
|
2 |
n |
5 |
n |
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5.30. |
lim |
|
|
|
|
... |
|
|
. |
||||||||
10 |
100 |
|
|
n |
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
5.27. lim |
|
. |
|
||
n 2n 7n 1 |
|
5.29. |
lim |
3 6 9 ... 3n |
. |
|||
|
||||||
|
n |
|
n2 4 |
|
|
|
|
|
|
2 4 ... 2n |
|
|
|
5.31. |
lim |
|
|
n . |
||
n 3 |
||||||
|
n |
|
|
|
Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.
|
n 1 n |
|
|
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6.1. |
lim |
|
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. |
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||||||
|
|
|
|
|
|
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|
n n 1 |
|
|
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|
n2 |
|
1 n4 |
|
||||||||||
6.3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
n |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2n |
2 |
2 |
n2 |
|
||||||||
6.5. |
lim |
|
|
. |
||||||||||
2n |
2 |
1 |
||||||||||||
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
3n |
6 |
|
n/2 |
|||||||
6.7. |
lim |
n |
|
|
. |
|||||||||
|
2 |
5n 1 |
||||||||||||
|
n n |
|
|
|||||||||||
|
6n 7 3n 2 |
|
||||||||||||
6.9. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
6n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
4 |
|
n2 n 1 n2
6.11. lim .
n n2 n 1
n 1 n2
6.13. lim .
n n 1
3n 1 2n 3
6.15. lim .
n 3n 1
n 3 n 4
6.17. lim .
n n 5
|
|
|
|
2n 3 n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
6.2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
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|
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n 2n 1 |
|
|
|
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|
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n 1 n 2 |
|
|
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|||||||||||||||
6.4. |
lim |
|
|
|
|
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|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
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||||||||||||
n n 3 |
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||
|
lim |
3n2 6n 7 n 1 |
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6.6. |
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
2 |
|
20n 1 |
|||||||||||||||
n 3n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 10 3n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
6.8. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||
n |
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
lim |
3n2 4n 1 2n 5 |
||||||||||||||||||
6.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
|
3n |
2 |
2n 7 |
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
5n 7 |
|
n |
||||||||||||
6.12. |
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
2n |
2 |
5n 3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5n2 3n 1 n2 |
|||||||||||||||||
6.14. |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
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5n |
2 |
3n 3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2n |
2 |
7n 1 |
n2 |
|
|
|
||||||||||||||
6.16. lim |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2n |
2 |
3n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
2n n3 |
|
|
|
||||||||||
6.18. |
|
|
lim |
|
n |
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
.
.
9
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
21n 7 |
|
2n 1 |
|||||||||||||||||||
6.19. |
lim |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
2n |
2 |
18n 9 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n2 5n |
|
|
|
n 1 |
||||||||||||||||||
6.21. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
3n |
2 |
5n 7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
6n 5 |
3n 2 |
|||||||||||||||||||
6.23. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
5n 5 |
||||||||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7n |
2 |
18n 15 |
n 2 |
||||||||||||||||||||
6.25. |
lim |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
7n |
2 |
11n 15 |
||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n3 n 1 2n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
6.27. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
n |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
2n 3 |
|
3n2 7 |
|||||||||||||||||||
6.29. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
2n |
2 |
2n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4n2 4n 1 1 2n |
||||||||||||||||||||||||
6.31. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
4n |
2 |
2n 3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Задача 7. Доказать (найти ), что: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
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2x2 5x 3 |
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|||||||||||||||||||
7.1. |
lim |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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7. |
|||||||
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|
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|
|
|
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|
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|
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||||||||||||
x -3 |
|
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|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3x2 5x 2 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
7.3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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7. |
||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
x -2 |
|
|
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|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
7.5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
5. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
x -1 2 |
x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.7. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x -1 3 |
|
x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7.9. |
lim |
|
3x2 2x 1 |
4. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 3 |
|
||||||||||||||||||||||
x -1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.11. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
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x 3 |
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x 3 |
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10n 3 5n |
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6.20. |
lim |
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. |
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||||||
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n |
10n 1 |
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||||||
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n 3 n2 |
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6.22. |
lim |
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. |
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|||||||||
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n n 1 |
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|||||||
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n 4 n |
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6.24. |
lim |
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. |
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||||
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|||||||
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n n 2 |
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|||||||
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2n 1 n 1 |
|||||||
6.26. |
lim |
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|
. |
||||
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|||||||
|
n |
2n 1 |
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||||||
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13n 3 |
n 3 |
||||||
6.28. |
lim |
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|
. |
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13n 10 |
|||||||||
|
n |
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|||||||
|
n 5 n/6 1 |
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6.30. |
lim |
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. |
|||||
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||||||||
|
n n 7 |
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5x2 |
4x 1 |
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7.2. lim |
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6. |
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|||||||
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x 1 |
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|
x 1 |
||||||||
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4x2 |
14x 6 |
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7.4. lim |
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10. |
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x 3 |
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|
x 3 |
||||||||
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6x2 x 1 |
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7.6. |
lim |
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5. |
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x 1 2 |
|
x 1 2 |
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3x2 5x 2 |
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7.8. lim |
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7. |
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x 2 |
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||||||||||
x 2 |
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7x2 8x 1 |
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7.10. |
lim |
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|
6. |
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|||||||
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x -1 |
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|
x 1 |
|||||||
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2x2 3x 2 |
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7.12. |
lim |
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|
5. |
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||||||
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x 1 2 |
x 1 2 |
10