Постановка задачи для линейных уравнений переноса

Рассмотрим задачи Коши для уравнений переноса следующего вида:

(1)

(2)

(3)

т.е. для одномерного линейного (a=const), одномерного квазилинейного и двумерного линейного (ине зависят отр) уравнений с финитными начальными данными.

Линейное одномерное уравнение переноса Постановка задачи

Рассмотрим задачу Коши (1) для линейного одномерного уравнения переноса с a=const, а>0, и финитным начальным условием , где функциявне отрезка, а на этом отрезке задана одним из следующих способов:

«левый треугольник»

; (4)

«прямоугольник»

; (5)

«косинус»

(6)

«зуб»

(7)

«М»

(8)

«правый треугольник»

(9)

Задача Коши (1) имеет точное решение . Это решение будем использовать в дальнейшем для контроля точности разностных схем. Точность будем определять через нормы разности точного и приближенного решений.

Разностные схемы для линейного одномерного уравнения переноса

Для численного решения введем на плоскости (x,t) равномерную пространственно-временную сетку , где

Через обозначим число Куранта, через- шаги сетки поx и t. Здесь и далее будем использовать стандартные обозначения для сеточных величин: , где верхний индекс - номер временного слоя, нижний индекс – номер узла пох. Решение на слое j считаем известным.

Рассмотрим на данной сетке наиболее известные разностные схемы или их производные, аппроксимирующие уравнение переноса (1). Ниже дано их краткое описание вместе с первым дифференциальным приближением – дифференциальным уравнением, более полно отражающим свойства разностного решения, чем исходное уравнение переноса. Приведены также условия устойчивости и порядок аппроксимации.

1. Явная схема с левой разностью:

(10)

Схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и по пространству. Она устойчива, если выполнено условие . Приприменение схемы дает точное решение. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

2. Схема Лакса – Вендроффа:

(11)

где

Схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу со вторым порядком по времени и пространству. Она устойчива при . Присхема дает точное решение. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

.

3. Схема с центральной разностью:

(12)

Схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и второй порядок по пространству, является безусловно неустойчивой как полусумма условно устойчивой схемы с левой разностью и безусловно неустойчивой схемы с правой разностью. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

.

4. Схема Лакса:

(13)

При выполнении условия устойчивости и стремлениик нулю быстрее, чем, схема сходится. Ее первое дифференциальное приближение имеет вид

.