27. Основные элементарные функции и их графики.

1)

1) y = xⁿ, n > 1

2) y =

3) y = , n > 1

2) y = a^x

1) a >1

2) 0 < a < 1

3) y = log _a x

1) a > 1

2) 0 < a < 1

4) y = sin x , cos x, tg x, ctg x

5) y = arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x

6) y = e^x

28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.

Число а называется пределом числовой последовательности x_n, если любой E-определенности > 0 существует N, меньшее любой n => |x_n-a|< E-определённости, т.е. x_n принадлежит E -определенности.

Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если = 0

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если { } – бесконечно малая

Свойства бесконечно малых:

1) α_n + _n – бесконечно малая

2) α_n * _n – бесконечно малая

3) α_n * с – бесконечно малая, c – действительное число

4) α_n * _n – бесконечно малая, x_n – ограниченная

29. Основные теоремы о пределах последовательностей.

1) Если предел последовательности существует, то он единственный

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

Следствие: Если последовательность не ограничена, то она расходящаяся.

3) A= <=> x_n = A + α_n , где α_n - бесконечно малая.

4) Теорема о милиционерах: Пусть существует =a. Существует =a

α_n <= x_n <= _n, любое n.

Тогда =a

30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.

Первый замечательный предел: α_{n –} бесконечно малая, то = 1

Второй замечательный предел: )ⁿ = e

Число «e» (2,718...) —иррациональное. Вычисляется с помощью следующего ряда:

Число e есть предел выражения

31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x = a (или при x -> a), если всякая окрестность > 0

A =

Теоремы:

1) Предел постоянной равен самой постоянной

2)  Постоянный множитель можно выносить за знак предела: = k *

3)  Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: =±

4)  Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

= *

5)  Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю: = ,≠ 0

32. Замечательные пределы для функций.

1) = 1

Доказательство: Из доказательства замечательного предела для последовательности имеем 1≤cos α_n

1 ≥ ≥cos x

По теореме о милиционерах в силу = 1 получаем = 1

2) =e

Доказательство: n = [x] – целая часть x. Рассмотрим случай x --> +∞, x > 0

n ≤ x < n + 1 => <≤=> 1 +< 1 +≤ 1 +

Возводим в степень n ≤ x < n + 1

< (1 + ≤

= =

= =(1 +) = e * 1 = e

по теореме о милиционерах:

= e

Рассмотрим случай x --> -∞

= [t = -x] = ====*=e*1 = e

33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

Сравнение бесконечно малых:

1. Если = А (А – действительное число0), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если = 0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если = ∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если  не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Функция f(x) называется бесконечно малой при x --> a, если = 0.

Если   = 1, то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (α ~ ß)

Теорема: Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой более низкого порядка из этой суммы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

1. sin x ~ х

2. tg x ~ х

3. arcsin х ~ х

4. arctg x ~ х

5. 1 - cos x ~ x²/2

6. е^х – 1 ~ х

7. α^х – 1 ~ х*ln(a)

8. ln(1+х) ~ х

9. log_a(l+х) ~ х•log_aе

10. (1+х)^k – 1 ~ k*х, k > 0