10. Определение правой тройки векторов. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл.

Тройка векторов ,иназывается правой, еслинаправлен так, что из его конца кратчайший поворот откпроисходит против часовой стрелки.

Векторным произведением вектора на векторназывается третий векторкоторый обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна

2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектораи

3. Вектор направлен так, что поворот от векторак векторуосуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора(тройка векторов,и– правая).

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторыиколлинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

11. Смешанное произведение 3-х векторов, его свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатах. Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов.

Смешанным произведением векторов ,,называется число, равное (*)*= (,,)

Модуль смешанного произведения векторов ,,равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах,,.

Свойства:

1) (*)*=*(*)

2) (,,) = (,,) = (,) = - (,,) = ... циклически меняем

3) ,,– компланарны (,,) = 0

4) ,,– правая (,,) > 0

, ,– левая (,,) < 0

5) (₁+₂,,) = (₁,,) + (₂,,) (α*,,) = α(,,)

Вычисление в координатах:

Необходимое и достаточное условие компланарности 3-х векторов :

Аналитическая геометрия

12. Виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Виды:

1) Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0

2) Уравнение прямой в отрезках:

3) Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b

4) Каноническое уравнение прямой на плоскости:

5) Параметрические уравнения прямой на плоскости:

6) Нормальное уравнение прямой: p- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, β- угол наклона этого перпендикуляра к осиO.

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле:

13. Взаимное расположение двух прямых на плоскости, угол между прямыми.

Если прямые изаданы общими уравнениямии,

 

тогда угол между ними находится по формуле:

–условие параллельности прямых и;

–условие перпендикулярности прямых и.

- прямые совпадают.

14. Виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Виды уравнений плоскости:

1) Общее: Ax + By + Cz + D = 0

2) В отрезках:

3) Нормальное:

Пусть плоскость задана уравнениемAx + By + Cz + D = 0 и дана точка . Тогда расстояниеp от точки _Mo до плоскости определяется по формуле

15. Взаимное расположение двух плоскостей, угол между плоскостями.

Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями^

1) Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными

2) Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися.

Пусть наши плоскости  изаданы уравнениями:

:  :

Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:

1) Плоскости параллельны:

2) Плоскости совпадают, если выполняются следующие условия:

a₂*x₀ + b₂*y₀ + c₂*z₀ + d₂ = 0

существует точка M₀(x₀,y₀,z₀), принадлежащая плоскости П₁