5. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений.

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Свойства решений:

Теорема 1. Линейная комбинация решений однородной системы является решением системы.

Теорема 2. Разность двух решений неоднородной системы является решением однородной системы.

Теорема 3. Сумма решения однородной системы с решением неоднородной системы есть решение неоднородной системы.

6. Решение систем методом Гаусса.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью следующих преобразований:

1) Умножение уравнения на число, отличное от нуля.

2) Прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число.

3) Перемена местами уравнений.

4) Замена местами неизвестных.

С помощью этих преобразований система сводится к системе трапецеидального вида.

Векторная алгебра

7. Линейные операции над векторами. Базис.

Вектор – направленный отрезок прямой, у которого один конец – начало, а другой – конец.

Линейные операции над векторами:

1) Умножение вектора на число.

, α ϵ R => =α *

1) || = |α|*||

2) ||

3) α > 0 => ↑↑

α < 0 => ↑↓

α = 0 => =

2) Сложение векторов. Складываются по правилу треугольника или параллелограмма.

свойства:

1) + =+

2) (+) +=+ (+)

3) +=

4) - = (-1)*

5) α (+) =α* + α*, α ϵ R

6) (α + β) = α* + *β

3) Разность векторов.

- =+ (-1)*=*β

Базис – упорядоченный набор компланарных векторов в пространстве.

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов называется разложением вектора по базису, а коэффициент этого разложения – координатами вектора в этом базисе.

- базисы трёхмерного пространства.

8. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат. Координаты точки. Линейные операции над векторами в координатной форме.

Свойства проекций:

1) Проеция вектора на осьl равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

2) Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось:

3) Если векторумножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число

ПСК – система координат с базисом ,,, удовлетворяющий условиям:

1) || = || = || = 1

2) ,,перпендикулярны друг другу.

Координаты точки: Пусть a,b, c– единичные векторы осей координат,O– начало координат. Тогда координаты произвольной точкиP– это координаты вектораотносительно базиса (a,b, c).

Линейные операции над векторами в координатной форме:

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.

9. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление в координатах.

Скалярным произведением векторов иназывается произведение их длин на косинус угла между ними:

Свойства:

1) * =*

2) (α * ) = (α*)* = α*(*

3) (+) *=* + *

4) *= ||²

5) , ≠

* > 0 0 < угол (;) <

* < 0< угол (;) <π

* = 0перпендикулярен