17Дифференци́рованием.
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Пусть
в некоторой окрестноститочки
определенафункция
Производной
функции называется такое число
,
что функцию в окрестностиU(x0)
можно представить в виде
f(x0 + h) = f(x0) + Ah + o(h)
если
существует.
[Править] Определение производной функции через предел
Пусть
в некоторой окрестноститочки
определенафункция
Производной
функцииfв точкеx0называетсяпредел,
если он существует,
[править] Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0
Заметим,
что последнее обычно обозначает
производную по времени (в теоретической
механике).Производная
функцииfв точкеx0, будучи пределом,
может не существовать или существовать
и быть конечной или бесконечной. Функцияfявляется дифференцируемой в точкеx0тогда и только тогда, когда
её производная в этой точке существует
и конечна:
Для дифференцируемой в x0функцииfв окрестностиU(x0) справедливо представление
при
18Правила дифференцирования
При
дифференцировании константу можно
выносить за производную:
Правило
дифференцирования суммы функций:
Правило
дифференцирования разности функций:
Правило
дифференцирования произведения функций
(правило Лейбница):
Правило
дифференцирования частного функций:
Правило
дифференцирования функции в степени
другой функции:
Правило
дифференцирования сложной функции:
Правило
логарифма при дифференцировании функции:
19Производная обратной функции
Пусть
f
: [a,
b]
→ [c,
d]
непрерывная, строго монотонная на
интервале [a,
b]
функция, имеющая производную в точке
х0
[a,
b].
Тогда обратная функция g
= f
-1:
[c,
d]
→[a,
b]
имеет производную в точке y0
= f(x0)
интервала [c,
d]
равную
,
если f '(x0) ≠ 0. Если f '(x0) = 0, то g '(y0) = + ∞ (в случае, когда f возрастает), и g '(y0) = − ∞ (в случае, когда f убывает). Доказательство. Пусть f (x) возрастает на [a, b] и f '(x) ≠ 0. Тогда в окрестности точки y0 = f (x0) существует обратная функция g = f -1; она непрерывна и также возрастает на [c, d], в силу чего g (y) ≠ g(y0), если у ≠ у0. Таким образом,
20Правило диференц. Сложн. Функ.
2. Правила дифференцированияарифметических дсйствий сложной функции.
Предположим, что f(x) и g(x) — две дифференцируемые функции в некотором промежутке.
Имеют место равенства (аргумент х опускаем):
производная сложной функции.
Существование производной f'(x0) равносильно существованию касательной t к графику функции f(x) в точке A(x0,у0), где
выражает ее угловой коэффициент. Уравнение t имеет вид
(t) : у = y0+ k(x - x0), k = f'(x0)
3. Если
S = S(t) —путь, пройденный материальной
точкой М за время
t,
то
- мгновенная скорость М в момент времени t.