6 Обратная матрица

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .          Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.         Предложение 14 . 20   Если матрица имеет обратную, то и .          Доказательство .     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей (  предложение 14.7 ), то . По   следствию 14.1 , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .      Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.         Определение 14 . 9   Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .                  Предложение 14 . 21   Если обратная матрица существует, то она единственна.          Доказательство .     Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда    и Следовательно, .              Предложение 14 . 22   Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и ( 14 .14) где  -- алгебраические дополнения к элементам .          Доказательство .     Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства ( 14.14 ) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства ( 14.14 ) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично. Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что : Если , то по   предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть при . Если , то Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке ( предложение 14.16 ). Таким образом, Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .      Результаты предложений 14.20 , 14.21 , 14.22 соберем в одну теорему.         Теорема 14 . 1   Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица  -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула ( 14.14 ).              Замечание 14 . 12   Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй -- номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.                  Пример 14 . 7   Найдите обратную матрицу для матрицы . Решение. Находим определитель Так как , то матрица  -- невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения: Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке: ( 14 .15) Полученная матрица и служит ответом к задаче.                  Замечание 14 . 13   В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так: ( 14 .16) Однако запись ( 14.15 ) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде ( 14.15 ) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы  -- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.                  Замечание 14 . 14   При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.                  Пример 14 . 8   Найдите обратную матрицу для матрицы . Решение. -- существует. Ответ: .          Нахождение обратной матрицы по формуле ( 14.14 ) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.