Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-векторасоответствующей точкикомплексной плоскости(или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа zобозначается |z| и определяется выражением. Часто обозначается буквамиили. Еслиzявляетсявещественным числом, то |z| совпадает сабсолютной величинойэтого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля. :

1) , причёмтогда и только тогда, когда;;

2) (неравенство треугольника);

3) ;

4) .

Из третьего свойства следует , где. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерногонормированного пространстванад полем.

5) Для пары комплексных чисел z₁ и z₂ модуль их разности | z₁ − z₂ | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах)радиус-вектораточки, соответствующей числуz, называетсяаргументомчислаzи обозначается.

• Из этого определения следует, что ;;.

• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.

• Главным значением аргумента называется такое значение , что. Часто главное значение обозначается^[4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z=x+iy, то числоназываетсясопряжённым(или комплексно сопряжённым) кz(обозначается такжеz^*). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

• (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

• 

• 

• 

• 

Обобщение: , гдеp(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

• 

• 

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа zв видеx+iy,, называетсяалгебраической формойкомплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i²= − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную xи мнимуюyчасти комплексного числа выразить через модульr= |z| и аргумент(x=rcos φ,y=rsin φ), то всякое комплексное числоz, кроме нуля, можно записать втригонометрической форме

z = r(cos φ + isin φ).

Также может быть полезна показательнаяформа записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической черезформулу Эйлера:

z = re^iφ,

где e^iφ— расширениеэкспонентыдля случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

42Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z= (x,y) можно изобразить как точку на плоскости с координатамиxиy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называетсякомплексной плоскостью, при этом осьOxназываетсядействительной, аOy-мнимой.

Расстояние rточкиzот нулевой точки, т. е. число

называется модулемкомплексного числаzи обозначается символом |z|.

Число

называем аргументомкомплексного числаzи обозначаем символомθ= argz. При заданномrуглы, отличающиеся на, соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываемназываемглавным значениемаргумента.

Числа rиθназываютполярными координатамикомплексного числаz. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формойкомплексного числа.

Если z₁= (r₁cosθ₁,r₁sinθ₁),z₂= (r₂cosθ₂,r₂sinθ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁ + θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

Для n-й степени числаz= (rcosθ,rsinθ) формула приобретает видzⁿ= (rⁿcosnθ,rⁿsinnθ).

При r= 1 соотношение приобретает видzⁿ= (cosnθ, sinnθ) и называетсяформулой Муавра.

Корень n-й степени из комплексного числаzимеетnразличных значений, которые находятся по формуле

(1)

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть . Положим,. Из рисунка 17.4 очевидно, чтоТогда. Это выражение запишем в виде( 17 .8) Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виденазывают иногда алгебраической формой комплексного числа. Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы ( 17.8 ) можно было бы просто записывать пару, но запись ( 17.8 ) принята в силу традиции.         Замечание 17 . 3   При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значенияи, иначе мы потеряем явное указание аргументаи снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если уголполучился отрицательным, то знак "" НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.                  Пример 17 . 5   Запишите в тригонометрической форме числа,,,. Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:Пусть,. Найдем произведение:Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. ПоэтомуПоследняя запись является тригонометрической формой комплексного числа. Значит,иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются . Аналогично можно доказать, чтоиными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются . Несложно проверить, что если, тоИспользуя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень, где-- натуральное число. Пусть. Тогдато естьДалее находимто естьПродолжая умножения дальше, придем к формуле( 17 .9) Эта формула называется формулой Муавра .         Пример 17 . 6   Вычислите, если. Решение. Находим тригонометрическую форму числа:По формуле МуавраПереходим к алгебраической форме, вычисляя косинус и синус:. Ответ:.