41Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение полявещественных чисел, в котором многочленz²+ 1 имеет корень. Следующие две элементарныемоделипоказывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят кизоморфнымрасширениям поля вещественных чисел, как и любые другие конструкцииполя разложениямногочленаz²+ 1.

Стандартная модель

Комплексное число zможно определить как упорядоченную парувещественных чисел(x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

• 

• 

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется паройединица —амнимая единица—На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен, то есть − 1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные сотношением порядка(больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матрицвида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице —

Замечания

Ошибочно определение числа iкак единственного числа, удовлетворяющего уравнениюx²= − 1, так как число ( −i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместоi, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вродесчиталась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильный ответ:

• Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

• Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

• Умножение

• Деление

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числусопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а такжерадиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называетсякомплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственновещественнойимнимойосями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и уголрадиус-вектораточки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной суммесоответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления втеории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Некоторые планиметрические утверждения (например, теорема Клиффорда), допускают только доказательство при помощи счёта в комплексных координатах.

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Пусть — комплексное число, гдеи—вещественные числа. Числаилииилиназываются соответственновещественнойимнимой(аналогичноангл.real, imaginary) частямиz.

• Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.

• Если y = 0, то z является действительным (вещественным) числом.