35Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.









36Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличнымили к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановкугде— функция, имеющая непрерывнуюпроизводную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаемформулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где P_{n + 1}(x) — многочлен (n+ 1)-ой степени.

37Интегрирование рациональных выражений

Отношение  двух алгебраических многочленов

,                                            (1)

,

,

, называется рациональной функцией и еще рациональной дробью.

Будем считать, что рациональная дробь действительная, т. е.и- действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что- действительная переменная.

Рациональные функции вида

(2)

где ,,,- действительные числа,- натуральное число, а трехчленне имеет действительных корней, будем называть простейшими дробями.

В § 5.2. мы показали, как вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11), § 5.2).

Пусть надо найти неопределенный интеграл от рациональной функции (см. (1)). Если, то простым делением выделяем изцелую часть:

.

Интегрирование многочлена не представляет труда, и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь правильная, т. е. степень ее числителя меньше степени знаменателя.

Т е о р е м а  2. Пусть знаменатель правильной действительной рациональной дроби разложен по формуле (5’) § 5.5:

.

Тогда дробь (1) можно представить, и притом единственным образом, в виде следующей суммы простейших дробей:

(3)

где ,,(с соответствующими индексами) – постоянные числа.

Эта теорема утверждает, что для любой правильной рациональной действительной дроби существуют постоянные числа ,,с указанными индексами так, что имеет место тождество (3) для всех, исключая значения, для которых обе части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказывать не будем.

Поясним формулировку теоремы 1 на примере. Согласно теореме 1 имеет место равенство

,      (4)

где ,,,- вполне определенные постоянные числа. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей:

.                           (5)

Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с одинаковыми степенями и приравниваем коэффициенты при одинаковых степеняхобеих частей (см. § 4.14,  теорема 2);

(6)

Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными ,,,. Эта система по теореме 1 имеет решение и притом единственное. Решая систему (6) получим,,, и потому

.     (7)

В общем случае, если мы нашли коэффициенты в (3), для интегрирования дробиу нас все готово: неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюс некоторая постоянная. Выше уже было отмечено, что интегралы от любого из членов (3) мы умеем вычислять.

В случае примера (7)

.

З а м е ч а н и е  1. Равенство (5) верно для любого .  Но оно тогда верно и при, потому что слева и справа в (5) стоят непрерывные функции от.  Подставив в (5), получим, т. е.и, положив, получим, т. е.. Эти данныесильно упрощают систему (6). На практике подобными соображениями не надо пренебрегать.

З а м е ч а н и е  2. Принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интегрирование (1) можно довести до конца в случае, если известны все корни и их кратности. Но мы уже говорили в § 5.5, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла от рациональной дроби (1) являются очень ценными.

С этой точки зрения заслуживает большого внимания метод Остроградского, обычно излагаемый в более полных учебниках.