модель и вычислительный эксперимент

Основы численных методов

1. 1. Модель и вычислительный эксперимент

При решении многочисленных инженерных задач обыч­но реальное явление заменяется математической моделью. По определению Шеннона «Модель - это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой ценности». В основе моделирования лежит определенная аналогия, соответствие между исследуемым объектом и его моделью. Это позволяет переходить от модели к самому объекту, использовать на нем результаты, полученные с помощью модели.

Модель является уп­рощенным представлением реальности и обычно содержит некоторое количе­ство уравнений. Главной задачей моделирования является максимальное при­ближение к реальности при достаточной простоте модели. В ряде случаев уда­ется найти аналитическое решение задачи. Однако в большинстве своем прихо­дится использовать численные методы. Эти методы предполагают применение ЭВМ и сводятся к некоторым действиям над числами. При этом в большинстве случаев решение является приближенным.

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на по­строении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычисли­тельным экспериментом.

Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на рис.1. Формулируются ос­новные законы, управляющие данным объектом исследования (I) настроится соответствующая математическая модель (II), пред­ставляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. д.).

Рис.1. Схема вычислительного эксперимента

При выборе физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические мо­дели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики. Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия и др.) эти уравнения можно заменить линейными.

После того как задача сформулирована в математической фор­ме, необходимо найти ее решение. Но что значит решить матема­тическую задачу? Только в исключительных случаях удается най­ти решение в явном виде, например в виде ряда. Иногда утверж­дение «задача решена» означает, что доказано существование и единственность решения. Ясно, что этого недостаточно для прак­тических приложений. Необходимо еще изучить качественное по­ведение решения и найти те или иные количественные характери­стики.

Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как след­ствие, развитие численных методов (см. III на рис.1). Под числен­ным методом здесь понимается такая интерпретация математиче­ской модели («дискретная модель»), которая доступна для реали­зации на ЭВМ. Например, если математическая модель представ­ляет собой дифференциальное уравнение, то численным методом может быть аппроксимирующее его разностное уравнение совме­стно с алгоритмом, позволяющим отыскать решение этого раз­ностного уравнения. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел.

Существуют различные подходы к реализации численных методов (см. IV на рис. 1). Тради­ционный подход предполагает построение алгоритма метода с последующим программированием на языке высокого уровня. В последнее время широко ис­пользуются специализированные программные продукты - математические па­кеты типа MathCad, которые существенно упрощают процесс составления ал­горитма и обладают встроенными библиотеками и графическими возможно­стями. Кроме того, существует еще один подход, позволяющий в ряде случаев существенно ускорить процесс решения задачи. Он основан на использовании табличного процессора Excel, широко распространенного среди пользователей.

После отладки алгоритма, реализованного с использованием программирования или альтернативных средств наступает этап про­ведения вычислений и анализа результатов (V). Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению, при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

Таким образом, при реализации численного эксперимента можно выделить следующие этапы:

1. Физическая постановка задачи. На этом этапе определяются основные цели и задачи, рассматривается реальное явление.

2. Математическая постановка задачи. Реальная задача заменяется моделью. Модель должна быть достаточно простой и в то же время адекватно отражать основные функции реального объекта. Этап заканчивается выводом некоторых математических соотношений (уравнения, системы уравнений).

3. Выбор метода решения. На этом этапе выбирается метод, посредством которого можно решить задачу, поставленную на предыдущем этапе. Весьма распространены аналитические методы, позволяющие решить поставленную задачу без использования компьютерных средств. В то же время большинство задач не поддаются решению с использованием аналитических методов. В этом случае можно использовать численные методы. Эти методы, как правило, приближенные, сводятся к некоторым арифметическим и логическим действиям над числами и обязательно предполагают использование средств вычислительной техники.

4. Разработка алгоритма в соответствии с выбранным численным методом. Обычно алгоритм представляет собой блок-схему, реализующую выбранный метод. Реализация алгоритма предполагает два разных подхода. Первый подход связан с использованием средств программирования и предполагает составление программы на языке высокого уровня с последующей ее отладкой и запуском на счет. Второй подход базируется на использовании специализированных пакетов, таких как MathCad или Excel.

5. Реализация составленного алгоритма на ЭВМ. Анализ результатов.