3. Общие свойства конформных отображений

Теорема 4. (теорема Римана). Пусть D и D' — односвязные области на расширенных плоскостях переменных z и w соответственно, причем границы этих областей состоят более чем из одной точки. Тогда существует аналитическая функция, взаимно-однозначно и конформно отображающая D на D'.

Из теоремы Римана следует, что односвязную область D нельзя конформно отобразить на единичный круг |w| < 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница — пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D — конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ∞).

Отображение w = f (z) области D на D', существующее по теореме Римана, не является единственным. Для однозначного определения конформного отображения нужно задать дополнительные условия, называемые условиями нормировки, содержащие три действительных параметра. Например, достаточно в какой-либо одной точке z₀ области D задать значения

w₀ = f(z₀), . (9)

Здесь в качестве параметров выступают две координаты точки w₀ и действительное число . Условия (9) означают, что отображение w = f(z) является единственным, если для какой-либо точки z₀ области D задать ее образ w₀ в области D' и угол поворота бесконечно малых векторов в точке z₀.

Можно задавать и другие условия нормировки, отличные от (9). Например, задают образы одной внутренней и одной граничной точек области D:

f(z₀) = w₀, f(z₁) = w₁,

где z₀, w₀ — внутренние точки областей D, D', a z₀, w₀ — граничные точки этих областей. Здесь также присутствуют три действительных параметра: две координаты точки w₀ и положение граничной точки w₁, которая определяется одним действительным числом (например, расстоянием, отложенным по границе области D' от некоторой фиксированной граничной точки). Укажем еще один вариант условий нормировки:

f(z_k) = w_k, k = 1,2,3,

где z_k и w_k — граничные точки областей D и D'.

Сформулируем следующее важное свойство конформных отображений.

Свойство 1. (принцип сохранения области). Если функция w = f(z) аналитична в области D и отлична от постоянной, то множество D', на которое она отображает D, также является областью (т.е. открытым связным множеством).

Перейдем к утверждениям, описывающим соответствие границ при конформных отображениях.

Свойство 2. (принцип соответствия границ). Пусть D и D' — односвязные области, ограниченные непрерывными замкнутыми контурами Г и Г’, составленными из конечного числа гладких кривых. Пусть, далее, функция w = f(z) конформно отображает D на D'. Тогда эту функцию можно доопределить и в точках границы Г так, что она станет непрерывной в замкнутой области и отобразит Г взаимно-однозначно и непрерывно на Г '.

Указанное свойство означает, что при конформном отображении друг на друга двух областей между их границами устанавливается взаимно-однозначное и непрерывное соответствие.

Свойство 3. При взаимно-однозначном и конформном отображении областей D и D' сохраняется направление обхода их границ.

Другими словами, если при обходе границы область D остается слева, то и при соответствующем обходе границы области D' эта область остается слева.

Большое значение для построения конформных отображений имеет следующее свойство.

Свойство 4. (обратный принцип соответствия границ).

Пусть односвязные области D и D' ограничены кривыми Г и Г’. Пусть, далее, функция w = f(z), аналитическая в D и непрерывная в , отображает Г взаимно-однозначно на Г ', причем, когда точка z обходит контур Г так, что область D остается слева, соответствующая точка w обходит контур Г ' так, что область D' также остается слева. Тогда функция w = f(z) осуществляет взаимно-однозначное конформное отображение области D на область D'.

Следовательно, для отыскания области, на которую функция w = f(z) отображает заданную область D, достаточно обойти границу области D и найти контур, на который эта граница отображается функцией f(z).