ФАЛЕС (Thales) Милетский

около 625 – около 545 до н. э.

Фалес Милетский – древнегреческий философ, родоначальник античной и вообще европейской философии и науки, основатель милетской школы. Сочинения Фалеса не сохранились, однако Аристотель называет его первым ионийским философом.

Происходил из г. Милета (Малая Азия). По преданию, много путешествовал по странам Востока, учился у египетских жрецов и вавилонских халдеев. Используя полученные в Египте знания, Фалес предсказал солнечное затмение 28 мая 585 г. до н. э., которое помогло лидийскому царю Алиатту принудить мидян к миру на выгодных условиях. Во время войны с персами Фалес проектировал инженерные сооружения для армии другого лидийского царя – Креза.

В своей натурфилософии Фалес возводил всё многообразие явлений и вещей к единой основе (первостихии или первоначалу), которой считал «влажную природу», воду: всё возникает из воды и в неё превращается.

Вселенная, по представлению Фалеса, представляет жидкую массу, посередине которой находится воздушное тело, имеющее форму чаши, повёрнутой открытой стороной вниз. Вогнутая поверхность этой чаши – небо; на нижней поверхности, в центре её, плавает диск, обтекаемый водой. Звёзды – боги, плавающие по небесному своду.

Для философии Фалеса характерен гилозоизм: «мир одушевлён и полон богов»: вслед за Гомером он представлял душу в виде тонкого (эфирного) вещества.

Важнейшей заслугой Фалеса в области математики считается перенесение им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии:

• Вертикальные углы равны.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

• Треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами.

• Диаметр делит круг на две равные части.

Фалесу приписывается греческими писателями также решение двух геометрических задач практического характера: определения расстояния корабля на море от Милетской гавани и определения высоты пирамиды по длине её тени.

ПЛАТОН (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, основатель Академии и родоначальник традиции платонизма.

Платон родился в Афинах в аристократической семье: его отец Аристон происходил из рода последнего афинского царя Кодра и афинского законодателя Солона, мать – Периктиона, тоже из рода Солона, была двоюродной сестрой одного из 30 афинских тиранов Крития. Платон – третий сын Аристона и Периктионы – получил от родителей имя Аристокл, а «Платоном» («широким») его прозвал учитель гимнастики за ширину плеч. В юности он готовил себя к занятиям политикой, занимался литературой, слушал философа Кратила, последователя Гераклита. Но приблизительно с 407 до н.э. Платон оказывается в числе слушателей Сократа, и это событие изменило его судьбу: он сжег все, что написал до того, отказался от мечты о политической карьере и принял решение заниматься только философией.

После казни Сократа в 399 Платон на десять лет уехал из Афин и путешествовал по Южной Италии, Сицилии, Египту. Во время этих поездок он оказался при дворе сиракузского тирана Дионисия I, которому попытался изложить свои идеи о наилучшем государственном устройстве. Дионисий понял из слов Платона очень мало, стал подозревать философа в подготовке заговора с целью переворота и продал философа в рабство, и из этой беды Платона выручили друзья, заплатив за него выкуп. После возвращения в Афины (ок. 388–387) Платон купил там землю и организовал собственную школу – Академию. В дальнейшем еще дважды по приглашению своего друга и почитателя Диона (в 366 и 361, после смерти Дионисия I) отправлялся на Сицилию, но уже к новому тирану – Дионисию Младшему. Но и эти попытки сделать из тирана просвещенного монарха остались безуспешны. Свое впечатление об этих поездках Платон отразил в ряде Писем.

Сочинения. Corpus Platonicum включает 36 диалогов, Апологию Сократа (защита Сократа на суде) и Письма, а также ряд сочинений, написанных в рамках школы, но с древних времен приписываемых Платону. Платон стал выдающимся мастером и реформатором жанра сократического диалога, получившего распространение в школах, основанных учениками Сократа. Главное действующее лицо платоновских диалогов – Сократ, который беседует со своими собеседниками, реальными историческими лицами 5 в., на темы о знании и добродетели, бытии и небытии, справедливости и т.д. Наиболее ранние сочинения (Апология, Критон, Ион, Евтифрон, Хармид) в какой-то мере отражают содержание бесед исторического Сократа, но учение, излагаемое персонажами диалогов, принадлежит исключительно гению Платона, который избрал недогматическую форму диалога для изложения собственного философского учения. Стержень всего учения Платона – учение об идеях как бестелесных сущностях, показывает границу, где начинается оригинально платоновское творчество. Кратил описывает и обосновывает сосуществование двух областей: области видимых вещей, находящихся в непрерывном движении и изменении (для нее у Платона позднее был принят термин «становление»), и области вечного самотождественного бытия. Менон посвящен вопросу, откуда берется знание и как возможно обучение, и в нем доказывается, что знание есть припоминание истины, созерцавшейся душой до рождения. Следующая группа диалогов представляет учение об идеях: Федон, Федр и Пир. В тот же период наивысшего расцвета платоновского творчества написано самое крупное произведение Платона – Государство, в котором наиболее полно и систематично представлено разные стороны учения Платона о человеке, мире и познании. Более поздние диалоги посвящены проблемам познания и критике собственной теории идей: Теэтет, Парменид, Софист, Политик; два важнейших поздних диалога Тимей и Филеб отмечены влиянием пифагорейской философии. В конце жизни Платон работал над обширными Законами.

Философский метод Платона связан с пониманием истинного знания как припоминания и созерцания идей. Так как истинное знание не может быть передано в слове или чувственном восприятии, то нужно через воспитание, упражнение и майевтическую практику диалога привести ученика к самостоятельному усмотрению истинной сущности. Для правильного движения к истине прежде всего следует очистить душу от неверных мнений, накопившихся в ней за время нефилософской жизни, и все ранние платоновские диалоги демонстрируют эту практику очищения (в формальном отношении представляющую собой логическое опровержение ложного мнения): в них опровергаются неправильные определения, правильного же определения не дается, потому что предполагается, что собеседник должен дать его сам, к тому же истинная идея не может быть выражена в словах, т.е. в логическом определении.

Учение. Сердцевина философии Платона – учение об идеях. Как тени относятся к реальным существам, их отбрасывающим, так вся область чувственно воспринимаемого в целом относится к вещам умопостигаемым: идея настолько же реальнее и живее зримой вещи, насколько вещь подлиннее своей тени. Идеи находятся в «мыслимом месте», – сфере умопостигаемого, которая в самой себе имеет градацию: там пребывают вечные идеи, постижимые только интуитивным умом, но также числа и геометрические объекты как предмет, постигаемый дискурсивным знанием. В целом умопостигаемый космос обладает бытием благодаря наивысшему трансцендентному принципу – единому благу, которое «по ту сторону сущности», неизреченно и непознаваемо, но без него никакое бытие невозможно, ибо чтобы быть, всякая вещь должна быть самой собою, быть чем-то единым и одним.

Данный нам в чувствах мир – это область «становления», где все возникает и погибает, вечно меняясь и никогда подлинно не существуя. Вещи существуют лишь благодаря своей причастности идеям, вечным и неизменным образцам. Метод эмпирической науки, основанный на наблюдении, по Платону, никогда не может привести к строгой истине, потому что наука может иметь дело только с вечным и неизменным. Поэтому адекватным способом описания и рассуждения об этом физическом мире в Тимее, где наиболее полно представлена физика Платона, является миф, т.е. не истинное, а только «правдоподобное» рассуждение.

В седьмой книге Государства Платон излагает миф о пещере, в котором образно представляет тот мир, в котором мы живем как пещеру, а всех людей – как узников, крепко скованных цепями и сидящих в этой пещере. Узники смотрят на глухую стену, на которую падают отблески света, падающего в пещеру сверху, где находится выход из нее. Глядя на тени люди устанавливают причины и следствия явлений и таким образом полагают, что познают мир. Но если увидеть истинные причины этих явлений, то окажется, что все познанное на основании отображений не имеет почти никакого отношения к действительности, ведь тени представляют свои первообразы в сильно искаженном виде. Кроме того, сам выход из пещеры (то есть начало истинного познания) физически труден, глаза не привыкли к настоящему освещению, а на само солнце как источник света и вовсе смотреть невозможно. Наконец, трудно не только восхождение, но и возвращение обратно (трансляция истинного знания) – люди не верят речам об истинном бытии, они высмеивают того, кто говорит не о том, что видят глаза, а о том, что познал разум. Поэтому в одиночку философией заниматься крайне сложно, требуется поддержка со стороны человеческого сообщества, в рамках которого и формируется представление о ценностях и методах воспитания. Эти темы являются фоном всего социально-политического учения Платона, принципиальной особенность которого является интерпретация человека как разумной души – не смертные люди, а бессмертные души действуют в платоновском идеальном Государстве, и критика Аристотелем Платона за несходство с реальной жизнью некоторых положений его учения связана прежде всего с пониманием человеческой природы, единократно или многократно проживающей свой земной век.

Души являются третьей важной онтологической реальностью наряду с вещами и идеями, они выступают как посредствующее звено между чувственным и умопостигаемым. Душа представляется у Платона состоящей из трех частей: вожделеющей, пылкой и разумной. Существуя в чувственных телах, души образуют с телом «совокупное целое» – живое существо (под этим словом подразумеваются и животные и люди). Но только души людей обладают разумом и поэтому могут познавать мир идей, если пройдут необходимый путь очищения и воспитания. Души животных (и растений) смертны, а разумные души людей бессмертны, поскольку, согласно изложенному в Тимее учению, они сотворены богом из того же состава, что и бессмертная мировая душа. После смерти души попадают на суд и получают возможность выбрать себе новую жизнь, статус в которой будет зависеть от добродетельности или порочности уже прожитой жизни.

Наиболее похвальное занятие для людей как разумных существ – готовить себя к жизни вечной, упражнять разумную способность, заниматься философией. Но одиночка-философ хотя исторически и возможен (например – Сократ), но все же философия возможна как часть государственной политики, направленной на совершенствование человеческой природы. Платон в диалоге Государство излагает учение, согласно которому построение справедливого и успешного государства возможно только в том случае, если общество людей (т.е. разумных душ, живущих на земле) будет в своей структуре соответствовать истинной иерархии универсума и природе души. Так, поскольку в душе есть три начала, то и в государстве должны быть три слоя граждан: вожделеющей части и интересам соответствуют производители ремесленники и земледельцы, пылкой – воины-стражники, а разумной – правители-философы. Справедливость существует в масштабе всего целого: когда каждый занимается своим делом, к которому способен и которому обучен, тогда общее устроение справедливо. Разные типы несправедливости выражаются в таких формах правления, как тирания, олигархия, демократия, аристократия, а лучшим все же является монархия как власть единого с целью общего блага.

Существенную роль в учении Платона играет тема любовного влечения (эроса). Платон выступает с разоблачением телесной любви, которая существенно суживает кругозор и стремится во-первых, лишь к удовольствию, во-вторых, приводит к собственнической установке в отношениях, по существу желая поработить, а не сделать свободным. Между тем свобода – безусловное благо, которое может дать в человеческих отношениях именно любовь, а в человеческом познании мира – философия, причем одно от другого едва ли может быть отделено. Любовь помогает быстрее пройти первые шаги на философском пути: здесь мы испытываем то самое удивление (оно ведь начало философии), которое заставляет остановиться и узнать в каком-то человеке, одном из многих, неповторимого и единственного; она помогает узнать, почему глубокое чувство и личное переживание не могут быть выражены словами, или, во всяком случае, обыденными словами; она учит тому, что значит стремиться к любимому предмету, думая только о нем и считая это самым важным, забывая о всем прочем. Эти уроки чувственной любви во всяком случае помогают лучше понять философские метафоры Платона, связанные с истинным познанием, устремлением, сосредоточением на главном и отрешении от неважного. Одна из трудных задач платоновского философского взгляда – увидеть в мире единый принцип, который есть именно благо, решается по аналогии с темой личной любви человека к человеку. Но, по Платону, трагедия личной любви всегда будет в том, что она часто заслоняет главное: тело заслоняет душу, отдельный человек и его красота – красоту истины и бытия. Правда же любви всегда будет в том, чтобы пройти путем любви как путем философии и видеть за телом душу, за преходящей красотой – непреходящую красоту добродетели и идеи, что в свою очередь не может не привести к благу и богу.

Философия Платона оказалась важнейшим интеллектуальным достижением античной эпохи. В основанной Платоном школе был воспитан Аристотель, наряду с Платоном оказавший определяющее влияние на развитие западно-европейской философии. Последователи Платона в ранний и особенно поздний период истории античной философии (неоплатонизм) стали образцовыми и важными авторами, чтение которых до сих пор формирует основу философского образования.

Евдокс Книдский (408–355 гг. до н.э.)

К IV столетию греческая наука созрела для того, чтобы перейти от общих рассуждений к последовательному изучению природы. Выдающимся учёным этого направления был Евдокс (около 408-355 до н. э.), младший современник Платона. Он родился на юго-западе Малой Азии в городе Книде. Биографы называют его астрономом, геометром, географом, врачом и законодателем. Ещё в юности Евдокс отправился учиться в Афины. Из-за бедности он вынужден был поселиться в афинском порту Пирее и ходил оттуда пешком в столицу (за 11 км), чтобы послушать софистов (учителей мудрости). В Книд он вернулся прославленным учёным и основал там собственную школу.

Евдокс был одним из виднейших математиков древности: он разработал общую теорию пропорций и способ операций с бесконечно малыми величинами, так называемый метод исчерпывания (предшественник современного интегрального исчисления). В географии он известен как автор не дошедшей до нас книги "Объезд земли". Учёный первым спроецировал на земную поверхность небесные тропики и "арктический круг". Области между ними Евдокс считал благоприятными для жизни, он же ввёл понятие климата (от греч. "клима" - "наклон") для определения широты места. Ему же, по-видимому, принадлежат приведённые Аристотелем без ссылок на источник доказательства шарообразности Земли по данным наблюдений и оценка её размеров. Архимед упоминает и о вычисленном Евдоксом отношении расстояний до Луны и Солнца (1 : 12).

Однако наиболее важной для математической астрономии стала теория планетных движений Евдокса, так называемая гипотеза гомоцентрических (очерченных вокруг общего центра) сфер. В ней он поставил задачу описать наблюдаемые движения светил в виде суммы равномерных круговых вращений. Ещё за полвека до него афинский астроном Евктемон обнаружил, что "сезоны", т. е. промежутки между последовательными равноденствиями и солнцестояниями, неодинаковы. Это означало, что Солнце движется по эклиптике неравномерно. Астрономы знали, что Луна выписывает на небе волнообразную линию, а планеты чертят среди звёзд непонятные петли. Античные учёные упорно стремились свести эти сложные движения к комбинациям равномерных вращений. В этом сказалась их убеждённость в совершенстве движений такого рода. Можно указать и другую, не менее важную причину - простоту этого движения, позволявшую разбить сложнейшую задачу на ряд более простых, решаемых последовательно.

Чтобы объяснить движения каждого светила, Евдокс подбирал комбинацию из нескольких вложенных одна в другую сфер, причём полюса каждой из них были последовательно закреплены на предыдущей. Например, движение Луны описывалось тремя сферами. Первая вращалась вокруг оси мира и делала один оборот в сутки. На ней были закреплены полюса второй сферы, они соответствовали полюсам эклиптики. Эта сфера совершала по отношению к предыдущей полный оборот за 18,6 лет и отражала движение по эклиптике точек пересечения с ней (узлов) лунной орбиты. Она несла полюса последней, третьей сферы, расположенной под небольшим углом к полюсам второй. Сфера эта делала полный оборот за 27,3 суток, и на её экваторе помещалась Луна. Для описания неравномерности скорости Солнца астроному также понадобились три сферы. Для планет с их остановками и попятными движениями трёх сфер оказалось мало, и Евдоксу пришлось добавить ещё одну. В конечном счёте в его системе оказалось 27 сфер, из них одна для неподвижных звёзд.

Евклид (ок. 365 – 300 до н. э.) – древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э.

Главный труд «Начала» (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.

Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I Сотера. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427—347 до н. э.), но старше Архимеда (ок. 287—212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением т. н. платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны — его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре». С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как науки.

Прокл в комментариях к первой книге «Начал» приводит известный анекдот о вопросе, который будто бы задал Птолемей Евклиду: «Нет ли в геометрии более краткого пути, чем (тот, который изложен) в «Началах»? На что Евклид якобы ответил, что «в геометрии не существует царской дороги» (аналогичный анекдот рассказывается также об Александре и ученике Евдокса Менехме, так что он принадлежит, видимо, к числу «бродячих сюжетов»).

«Начала»

Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты «Начала», состоящие из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры. 3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд. В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники, причем построение правильного пятнадцатиугольника принадлежит, видимо, самому Евклиду. Книга 5-я и 6-я посвящены теории отношений и ее применению к решению алгебраических задач. Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел, разработанной пифагорейцами не позднее 5 в. до н. э. Эти три книги написаны, по-видимому, на основе не дошедших до нас сочинений Архита.

В книге 10-й рассматриваются квадратичные иррациональности и излагаются результаты, полученные Теэтетом. В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии. В 12-й книге с помощью исчерпывания метода Евдокса доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров. В основу 13-й книги легли результаты, полученные Теэтетом в области правильных многогранников. Книги 14-я и 15-я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14-я — во 2 в. до н. э., а 15-я — в 6 в.

Другие сочинения Евклида

Вторым после «Начал» сочинением Евклида обычно называют «Данные» — введение в геометрический анализ. Евклиду принадлежат также «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии, «Оптика» и «Катоптрика», небольшой трактат «Сечения канона» (содержит десять задач о музыкальных интервалах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошел до нас в арабском переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах», подчинено строгой логике, причем теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в сочинениях других авторов. (Энциклопедия Кирилл и Мефодий)

Еще о Евклиде:

О жизни этого ученого почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

В то время развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I—IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х—ХІІ содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой». «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».

Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат Евклида («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

Обычно о «Началах» Евклида говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6—7 изданий. До XX века книга «Начала» считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом

Евклиду принадлежат частично сохранившиеся, частично реконструированные в дальнейшем математические сочинения Именно он ввел алгоритм для получения наибольшего общего делителя двух произвольно взятых натуральных чисел и алгоритм, названный «счетом Эратосфена», — для нахождения простых чисел от данного числа.

Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях «Оптика» и «Катоптрика». Основное понятие геометрической оптики — прямолинейный световой луч. Евклид утверждал, что световой луч исходит из глаза (теория зрительных лучей), что для геометрических построений не имеет существенного значения. Он знает закон отражения и фокусирующее действие вогнутого сферического зеркала, хотя точного положения фокуса определить еще не может Во всяком случае в истории физики имя Евклида как основателя геометрической оптики заняло надлежащее место.

У Евклида мы встречаем также описание монохорда — однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры)

Евклид со свойственной ему страстью занялся числительной системой интервальных соотношений. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино. А первопричиной появления этих музыкальных инструментов стала математика.

Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

Умер Евклид между 275 и 270 до н. э.

Аполлоний Пергский (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

Третий и последний, наряду с Евклидом и своим старшим современником Архимедом (287–212 до н.э.), выдающийся древнегреческий математик эпохи эллинизма (до времен Римской империи, отсчитываемых со II в. до н.э.); его называли «Великим Геометром».

Родом из греческого городка Перге в Малой Азии (теперь в Турции, близ популярной ныне Анталии), он учился у преемников Евклида в Александрии, где потом преимущественно и жил.

В элементарной геометрии Аполлоний популярен благодаря названным его именем задаче об окружности, касающейся трех данных, и геометрическом месте точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (это т.н. окружности Аполлония). Но «Великим» геометром его следует называть и сейчас не из-за этих задач и геометрических мест точек, а из-за выдающегося влияния, которое оказал его основной восьмитомный труд «Конические сечения» на математику и механику XVI–XVII вв.

Семь из восьми книг этого сочинения сохранились, были переведены на латынь и подвигли Ферма и Декарта на изобретение метода координат. Конические сечения (коники) изобрел еще Менехм (ок. 380 – 320 до н.э.), чтобы с помощью этих кривых решать, например, задачу удвоения куба. Аполлоний рассмотрел коники в общем случае, дал им сохранившиеся через века названия: эллипс, гипербола, парабола, вывел разнообразные их свойства, используя при этом своеобразные связанные с кониками координаты. Через 17 веков (!) оказалось, что именно по изученным Аполлонием кривым совершаются как движение брошенного камня (Галилей), так и обращение планет вокруг Солнца (Кеплер). Это поразительный (но не единственный) пример того, как «чисто» математические, абстрактные понятия оказываются затем тесно связанными с окружающим нас реальным миром.

АРХИМЕД (ок. 287–212 до н.э.), величайший древнегреческий математик и механик.

Уроженец греческого города Сиракузы на острове Сицилия, Архимед был приближенным управлявшего городом царя Гиерона (и, вероятно, его родственником). Возможно, какое-то время Архимед жил в Александрии – знаменитом научном центре того времени. То, что сообщения о своих открытиях он адресовал математикам, связанным с Александрией, например Эратосфену, подтверждает мнение о том, что Архимед являлся одним из деятельных преемников Евклида, развивавших математические традиции александрийской школы. Вернувшись в Сиракузы, Архимед находился там вплоть до своей гибели при захвате Сиракуз римлянами в 212 до н.э.

Дата рождения Архимеда (287 до н.э.) определяется исходя из свидетельства византийского историка 12 в. Иоанна Цеца, согласно которому он «прожил семьдесят пять лет». Яркие картины его гибели, описанные Ливием, Плутархом и Валерием Максимом, различаются лишь в деталях, но сходятся в том, что Архимеда, занимавшегося в глубокой задумчивости геометрическими построениями, зарубил римский воин. Кроме того, Плутарх сообщает, что Архимед, «как утверждают, завещал родным и друзьям установить на его могиле описанный вокруг шара цилиндр с указанием отношения объема описанного тела к вписанному», что было одним из наиболее славных его открытий. Цицерон, который в 75 до н.э. был на Сицилии, обнаружил выглядывавшее из колючего кустарника надгробие и на нем – шар и цилиндр.

Легенды об Архимеде. В наше время имя Архимеда связывают главным образом с его замечательными математическими работами, однако в античности он прославился также как изобретатель различного рода механических устройств и инструментов, о чем сообщают авторы, жившие в более позднюю эпоху. Правда, авторство Архимеда во многих случаях вызывает сомнения. Так, считается, что Архимед был изобретателем т.н. архимедова винта, который служил для подъема воды на поля и явился прообразом корабельных и воздушных винтов, хотя, судя по всему, такого рода устройство использовалось и раньше. Не внушает особого доверия и то, что рассказывает Плутарх в Жизнеописании Марцелла. Здесь говорится, что в ответ на просьбу царя Гиерона продемонстрировать, как тяжелый груз может быть сдвинут малой силой, Архимед «взял трехмачтовое грузовое судно, которое перед этим с превеликим трудом вытянули на берег много людей, усадил на него множество народа и загрузил обычным грузом. После этого Архимед сел поодаль и стал без особых усилий тянуть на себя канат, перекинутый через полиспаст, отчего судно легко и плавно, словно по воде, «поплыло» к нему». Именно в связи с этой историей Плутарх приводит замечание Архимеда, что, «если бы имелась иная Земля, он сдвинул бы нашу, перейдя на ту» (более известный вариант этого высказывания сообщает Папп Александрийский: «Дайте мне, где стать, и я сдвину Землю»). Вызывает сомнение и подлинность истории, поведанной Витрувием, что будто бы царь Гиерон поручил Архимеду проверить, из чистого ли золота сделана его корона или же ювелир присвоил часть золота, сплавив его с серебром. «Размышляя над этой задачей, Архимед как-то зашел в баню и там, погрузившись в ванну, заметил, что количество воды, переливающейся через край, равно количеству воды, вытесненной его телом. Это наблюдение подсказало Архимеду решение задачи о короне, и он, не медля ни секунды, выскочил из ванны и, как был нагой, бросился домой, крича во весь голос о своем открытии: «Эврика! Эврика!» (греч. «Нашел! Нашел!»)».

Более достоверным представляется свидетельство Паппа, что Архимеду принадлежало сочинение Об изготовлении [небесной] сферы, речь в котором шла, вероятно, о построении модели планетария, воспроизводившей видимые движения Солнца, Луны и планет, а также, возможно, звездного глобуса с изображением созвездий. Во всяком случае Цицерон сообщает, что тот и другой инструмент захватил в Сиракузах в качестве трофеев Марцелл. Наконец, Полибий, Ливий, Плутарх и Цец сообщают о грандиозных баллистических и иных машинах, построеннных Архимедом для отражения римлян.

СМЕРТЬ АРХИМЕДА. Римская мозаика

Математические труды. Сохранившиеся математические сочинения Архимеда можно разделить на три группы. Сочинения первой группы посвящены в основном доказательству теорем о площадях и объемах криволинейных фигур или тел. Сюда относятся трактаты О шаре и цилиндре, Об измерении круга, О коноидах и сфероидах, О спиралях и О квадратуре параболы. Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статических и гидростатических задач: О равновесии плоских фигур, О плавающих телах. К третьей группе можно отнести различные математические работы: О методе механического доказательства теорем, Исчисление песчинок, Задача о быках и сохранившийся лишь в отрывках Стомахион. Существует еще одна работа – Книга о предположениях (или Книга лемм), сохранившаяся лишь в арабском переводе. Хотя она и приписывается Архимеду, в своем нынешнем виде она явно принадлежит другому автору (поскольку в тексте имеются ссылки на Архимеда), но, возможно, здесь приведены доказательства, восходящие к Архимеду. Несколько других работ, приписываемых Архимеду древнегреческими и арабскими математиками, утеряны.

Дошедшие до нас работы не сохранили своей первоначальной формы. Так, судя по всему, I книга трактата О равновесии плоских фигур является отрывком из более обширного сочинения Элементы механики; кроме того, она заметно отличается от II книги, написанной явно позднее. Доказательство, упоминаемое Архимедом в сочинении О шаре и цилиндре, было утрачено ко 2 в. н.э. Работа Об измерении круга сильно отличается от первоначального варианта, и предложение II в ней скорее всего заимствовано из другого сочинения. Заглавие О квадратуре параболы вряд ли могло принадлежать самому Архимеду, так как в его время слово «парабола» еще не использовалось в качестве названия одного из конических сечений. Тексты таких сочинений, как О шаре и цилиндре и Об измерении круга, скорее всего, подвергались изменениям в процессе перевода с дорийско-сицилийского на аттический диалект.

При доказательстве теорем о площадях фигур и объемах тел, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, Архимед постоянно использует метод, известный как «метод исчерпывания». Изобрел его, вероятно, Евдокс (расцвет деятельности ок. 370 до н.э.) – по крайней мере, так считал сам Архимед. К этому методу время от времени прибегает и Евклид в XII книге Начал. Доказательство с помощью метода исчерпывания, в сущности, представляет собой косвенное доказательство от противного. Иначе говоря, утверждение «А равно В» считается истинным в том случае, когда принятие противоположного утверждения, «А не равно В», ведет к противоречию. Основная идея метода исчерпывания заключается в том, что в фигуру, площадь или объем которой требуется найти, вписывают (или вокруг нее описывают, либо же вписывают и описывают одновременно) правильные фигуры. Площадь или объем вписанных или описанных фигур увеличивают или уменьшают до тех пор, пока разность между площадью или объемом, которые требуется найти, и площадью или объемом вписанной фигуры не становится меньше заданной величины. Пользуясь различными вариантами метода исчерпывания, Архимед смог доказать различные теоремы, эквивалентные в современной записи соотношениям S = 4r² для площади поверхности шара, V = 4/3r³ для его объема, теореме о том, что площадь сегмента параболы равна 4/3 площади треугольника, имеющего те же оcнование и высоту, что и сегмент, а также многие другие интересные теоремы.

Ясно, что, используя метод исчерпывания (который является скорее методом доказательства, а не открытия новых соотношений), Архимед должен был располагать каким-то другим методом, позволяющим находить формулы, которые составляют содержание доказанных им теорем. Один из методов нахождения формул раскрывает его трактат О механическом методе доказательства теорем. В трактате излагается механический метод, при котором Архимед мысленно уравновешивал геометрические фигуры, как бы лежащие на чашах весов. Уравновесив фигуру с неизвестной площадью или объемом с фигурой с известной площадью или объемом, Архимед отмечал относительные расстояния от центров тяжести этих двух фигур до точки подвеса коромысла весов и по закону рычага находил требуемые площадь или объем, выражая их соответственно через площадь или объем известной фигуры. Одно из основных допущений, используемых в методе исчерпывания, состоит в том, что площадь рассматривается как сумма чрезвычайно большого множества плотно прилегающих друг к другу «материальных» прямых, а объем – как сумма плоских сечений, тоже плотно прилегающих друг к другу. Архимед считал, что его механический метод не имеет доказательной силы, но позволяет получить предварительный результат, который впоследствии может быть доказан более строгими геометрическими методами.

Хотя Архимед был в первую очередь геометром, он совершил ряд интересных экскурсов и в область численных расчетов, пусть примененные им методы и не вполне ясны. В предложении III сочинения Об измерении круга он установил, что число  меньше и больше. Из доказательства видно, что он располагал алгоритмом получения приближенных значений квадратных корней из больших чисел. Интересно отметить, что у него приведена и приближенная оценка числа , а именно: . В сочинении, известном под названием Исчисление песчинок, Архимед излагает оригинальную систему представления больших чисел, позволившую ему записать число , где само Р равно . Эта система потребовалась ему, чтобы сосчитать, сколько песчинок понадобилось бы, чтобы заполнить Вселенную.

В труде О спирали Архимед исследовал свойства т.н. архимедовой спирали, записал в полярных координатах характеристическое свойство точек спирали, дал построение касательной к этой спирали, а также определил ее площадь.

В истории физики Архимед известен как один из основоположников успешного применения геометрии к статике и гидростатике. В I книге сочинения О равновесии плоских фигур он приводит чисто геометрический вывод закона рычага. По сути, его доказательство основано на сведении общего случая рычага с плечами, обратно пропорциональными приложенным к ним силам, к частному случаю равноплечего рычага и равных сил. Все доказательство от начала и до конца пронизано идеей геометрической симметрии.

В своем сочинении О плавающих телах Архимед применяет аналогичный метод к решению задач гидростатики. Исходя из двух допущений, сформулированных на геометрическом языке, Архимед доказывает теоремы (предложения) относительно величины погруженной части тел и веса тел в жидкости как с большей, так и с меньшей плотностью, чем само тело. В предложении VII, где говорится о телах более плотных, чем жидкость, выражен т.н. закон Архимеда, согласно которому «всякое тело, погруженное в жидкость, теряет по сравнению со своим весом в воздухе столько, сколько весит вытесненная им жидкость». В книге II содержатся тонкие соображения относительно устойчивости плавающих сегментов параболоида.

Влияние Архимеда. В отличие от Евклида, Архимеда вспоминали в античности лишь от случая к случаю. Если мы что-то знаем о его работах, то лишь благодаря тому интересу, который питали к ним в Константинополе в 6–9 в. Эвтокий, математик, родившийся в конце 5 в., прокомментировал по крайней мере три работы Архимеда, по-видимому, наиболее известные в то время: О шаре и цилиндре, Об измерении круга и О равновесии плоских фигур. Работы Архимеда и комментарии Эвтокия изучали и преподавали математики Анфимий из Тралл и Исидор из Милета, архитекторы собора св. Софии, возведенного в Константинополе в правление императора Юстиниана. Реформа преподавания математики, которую проводил в Константинополе в 9 в. Лев Фессалоникийский, по-видимому, способствовала собиранию работ Архимеда. Тогда же он стал известен мусульманским математикам. Теперь мы видим, что арабским авторам недоставало некоторых наиболее важных работ Архимеда, таких как О квадратуре параболы, О спиралях, О коноидах и сфероидах, Исчисление песчинок и О методе. Но в целом арабы овладели методами, изложенными в других работах Архимеда, и нередко блестяще ими пользовались.

Средневековые латиноязычные ученые впервые услышали об Архимеде в 12 в., когда появились два перевода с арабского на латынь его сочинения Об измерении круга. Лучший перевод принадлежал знаменитому переводчику Герарду Кремонскому, и в последующие три столетия он послужил основой многих изложений и расширенных версий. Герарду принадлежал также перевод трактата Слова сынов Моисеевых арабского математика 9 в. Бану Мусы, в котором приводились теоремы из сочинения Архимеда О шаре и цилиндре с доказательством, аналогичным приведенному у Архимеда. В начале 13 в. Иоанн де Тинемюэ перевел сочинение О криволинейных поверхностях, по которому видно, что автор был знаком с другой работой Архимеда – О шаре и цилиндре. В 1269 доминиканец Вильгельм из Мербеке перевел с древнегреческого весь корпус работ Архимеда, кроме Исчисления песчинок, Метода и небольших сочинений Задача о быках и Стомахион. Для перевода Вильгельм из Мербеке использовал две из трех известных нам византийских рукописей (рукописи А и В). Мы можем проследить историю всех трех. Первая из них (рукопись А), источник всех копий, снятых в эпоху Возрождения, по-видимому, была утрачена примерно в 1544. Вторая рукопись (рукопись В), содержавшая работы Архимеда по механике, в том числе сочинение О плавающих телах, исчезла в 14 в. Копий с нее снято не было. Третья рукопись (рукопись С) не была известна до 1899, а изучать ее стали лишь с 1906. Именно рукопись С стала драгоценной находкой, так как содержала великолепное сочинение О методе, известное ранее лишь по отрывочным фрагментам, и древнегреческий текст О плавающих телах, исчезнувший после утраты в 14 в. рукописи В, которую использовал при переводе на латынь Вильгельм из Мербеке. Этот перевод имел хождение в 14 в. в Париже. Он использовался также Якобом Кремонским, когда в середине 15 в. тот предпринял новый перевод корпуса сочинений Архимеда, входивших в рукопись А (т.е. за исключением сочинения О плавающих телах). Именно этот перевод, несколько поправленный Региомонтаном, был опубликован в 1644 в первом греческом издании трудов Архимеда, хотя некоторые переводы Вильгельма из Мербеке были изданы в 1501 и 1543. После 1544 известность Архимеда начала возрастать, и его методы оказали значительное влияние на таких ученых, как Симон Стевин и Галилей, а тем самым, хотя и косвенно, воздействовали на формирование современной механики.

Леонардо да Винчи (1452-1519)

Винчи (Lionardo da) - один из величайших представителей итальянского искусства эпохи Возрождения, живописец, скульптор, музыкант, поэт, архитектор и ученый.

Родился в Винчи, близ Флоренции, в 1452 г. Он был сын некоего Пьеро, нотариуса синьории во Флоренции.

Заметив чрезвычайные способности сына к живописи, отец отдал его в учение к Андреа Верроккио, одному из представителей Тосканской школы живописи. Вазари упоминает о первом живописном опыте Леонардо да Винчи, о "Медузе", лежащей на земле среди множества гадов.

Многие знатоки искусства полагают, что это та самая картина, которая в настоящее время находится во Флоренции, в Уффици, но Румор и Куглер склоняются к мнению, что флорентийская медуза есть только копия с оригинального произведения Леонардо да Винчи.

На картине Верроккио: "Крещение Господа", один из ангелов написан Леонардо да Винчи; по преданию, передаваемому Вазари, старый мастер, увидевши себя превзойденным работой ученика, бросил будто бы живопись.

Как бы то ни было, но около 1472 г. Леонардо да Винчи, которому было тогда лет двадцать, оставил мастерскую Верроккио и стал работать самостоятельно. К ранним произведениям его принадлежат два картона: на одном изображен Нептун среди бушующих волн, с нимфами и тритонами; на другом грехопадение Адама и Евы среди пейзажа, представляющего рай.

Об этих ранних произведениях трудно сказать что-либо определенное: они не сохранились. Вообще большинство произведений, слывущих под именем Леонардо в музеях - либо копии, либо работы его учеников. Во всяком случае о молодости Леонардо да Винчи имеется мало сведений; нормального и последовательного развития, столь заметного у Микеланджело и Рафаэля, нельзя проследить в жизни Леонардо да Винчи.

Приблизительно в 1480 г. он был вызван в Милан ко двору герцога Людовика Сфорцы, в качестве музыканта и импровизатора. Ему было, однако, поручено основать в Милане академию художеств.

Для преподавания в этой академии Леонардо да Винчи составил трактаты о живописи, о свете, о тенях, о движении, о теории и практике, о движениях человеческого тела, о пропорциях человеческого тела, Вазари упоминает также о "Трактате о перспективе", который должен был служить вступлением ко всем сочинениям Леонардо да Винчи по живописи, и один экземпляр которого принадлежал Бенвенуто Челлини.

Леонардо да Винчи был красив собой, прекрасно сложен, обладал огромною физическою силой, был сведущ в рыцарских искусствах, верховой езде, танцовании, фехтовании и пр. В качестве архитектора Леонардо да Винчи строил здания, особенно в Милане, и сочинил много архитектурных проектов и чертежей, специально занимался анатомией, математикой, перспективой, механикой; он оставил обширные проекты, как, напр., проект соединения Флоренции и Пизы посредством канала; чрезвычайно смелым был его план поднятия древнего баптистерия С. Джиованни во Флоренции с целью возвысить под ним фундамент и таким образом придать этому зданию более величественный вид.

Ради изучения выражений чувств и страстей в человеке, Леонардо да Винчи посещал самые многолюдные места, где кипела человеческая деятельность, и заносил в альбом все, что ему попадалось; он провожал преступников к месту казни, запечатлевая в памяти выражение мук и крайнего отчаяния; он приглашал к себе в дом крестьян, которым рассказывал самые забавные вещи, желая изучить на лицах их комическое выражение. При таком реализме, Леонардо да Винчи был в то же время наделен в самой высокой степени глубоким субъективным чувством, нежной, тчасти сантиментальной мечтательностью.

В некоторых его работах преобладает то один, то другой элемент, Но в главных, лучших, произведениях оба элемента уравновешиваются прекрасной гармонией, так что, благодаря гениальному замыслу и чувству красоты, они занимают ту высокую ступень, которая упрочивает за Леонардо да Винчи безусловно одно из первых мест в ряду великих мастеров новейшего искусства. Кроме указанных ранних произведений Леонардо да Винчи, следует еще упомянуть о двух потерянных портретах: Америго Веспуччи и Скирамуччио, а также о "Мадонне" (Madonne a la carafe), принадлежавшей папе Клименту VII, которую Аржонвиль видел в Ватикане еще в середине XVIII века.

К той же эпохе жизни Леонардо да Винчи принадлежит и "Св. Семейство" - картина известная под названием "Vierge aux rochers" (Лувр). "Поклонение волхвов", по всей вероятности, заканчивает этот первый период творчества Леонардо да Винчи. Предполагают, что приблизительно в это время он побывал в Риме, где будто бы написал для церкви Сан-Онофрио "Мадонну".

Из предприятий, исполненных Леонардо да Винчи по поручению Людовика Сфорцы, особенно замечательна колоссальная конная статуя в память Франчески Сфорцы, вылитая из бронзы. Первая модель этого памятника нечаянно разбилась. Леонардо да Винчи вылепил другую, но статуя не была отлита, вследствие недостатка в деньгах. Когда французы в 1499 г. захватили Милан, модель послужила гасконским стрельцам мишенью. Точно также и другое великое произведение Леонардо да Винчи, "Тайную вечерь", можно считать почти несуществующим. Она написана на стене (в 28 футов в трапезе монастыря Санта Мария делле-Грацие.

Из свидетельства Амморети следует заключить, что эта картина была окончена в 1497 году. К сожалению, Леонардо да Винчи исполнил ее красками, из которых некоторые оказались очень непрочными. Уже через пятьдесят лет после окончания, картина, по свидетельству Вазари, находилась в самом жалком состоянии. Однако, если бы в то время можно было исполнить желание короля Франциска I, выраженное через шестнадцать лет после окончания картины, и, выломив стену, перевести картину во Францию, то, может быть, она сохранилась бы. Но этого нельзя было сделать.

В 1500 г. вода, залившая трапезу, окончательно испортила стену. Кроме того, в 1652 г. была пробита дверь в стене под ликом Спасителя, уничтожившая ноги этой фигуры. Картина была несколько раз неудачно реставрирована В 1796 г., после перехода французов через Альпы, Наполеон отдал строгое предписание пощадить трапезу, но следовавшие за ним генералы, не обращая внимания на его приказ, превратили это место в конюшню, а впоследствии в складочное место для сена.

В настоящее время, когда это великое произведение представляет такую печальную развалину, к нему приставлен смотритель и сделаны подмостки для зрителей. К счастью уцелели оригинальные картоны некоторых голов, а также и копии, снятые учениками мастера, отчасти под его непосредственным наблюдением.

Копия М. Оджиона передающая произведение Леонардо да Винчи в малом виде, находится в петербургском Эрмитаже. Картоны сохраняются отчасти в великогерцогском собрании в Веймаре, отчасти у частных лиц в Англии. Некоторые эскизы находятся в венецианской академии, а первоначальный рисунок всей композиции - в парижском собрании оригинальных рисунков. По этим материалам сделаны были попытки воспроизвести "Тайную вечерь" в том виде, какой имела она вначале. К этим попыткам относятся: гравюра Моргена и картон Босси; с этого картона сам Босси снял копии масляными красками, послужившую образцом для мозаики, находящейся в Августинской церкви в Вене. Копия Феррари находится в галерее герцога Лейхтенбергского в петербургской академии художеств. Благодаря всем этим попыткам, мы можем иметь по крайней мере общее представление об этом великом произведении искусства.Леонардо да Винчи работал медленно и оставил много неоконченных вещей, что объясняется частыми перерывами в его художественной деятельности. Эти произведения, в большинстве случаев, были оканчиваемы впоследствии его учениками. Поэтому, картин, несомненно принадлежащих Леонардо да Винчи, очень мало.

Едва ли можно причислить к произведениям Леонардо да Винчи картины: "Vierge au has relief" (гал. лорда Монсона), "Скромность и Тщеславие" (дворец Шьяра-Колонна, в Риме), три "Иродиады" (Вена), "Леда" (Берлин) и проч. Знатоки искусства признают подлинными только следующие произведения: "Тайная вечерь" (Милан), "Богородица и св. Анна", "Иоанн Креститель", "Джоконда", "Бахус", "Vierge aux rochers", портрет Лукреции Кревелли (в Лувре); "Vierge a la carafe" (Ватикан): "Голова Медузы", "Поклонение волхвов" (Уффици), "Мадонна с Младенцем" (Ваприо вилла Мельци), "Мадонна Литта", "Св. Семейство" и портрет дамы (вероятно, Лукреции Кревелли, в Эрмитаже).Амброзианская библиотека в Милане обладает целой серией весьма интересных мелких набросков и рисунков, в числе которых особенно замечательны портреты Людовика Сфорцы и его жены, а также несколько других портретов.

Леонардо да Винчи умер в Клу, близ Амбуаза, во Франции, в 1519 г. Трогательный рассказ Вазари об его кончине на руках короля - вымышлен.

"Трактат о живописи" был издан несколько раз, сперва на итальянском языке, а потом на немецком, испанском и французском. Первое издание, по рукописи библиотеки Барберини, появилось в Париже в 1651 г. под заглавием: "Trattato della pittura con la vita dell istesso autore scritta da Rafaello da Fresne". Что касается до других рукописей Леонардо да Винчи, то они находятся в разных собраниях, общественных и частных.

Самая ценная коллекция рукописей хранится в парижской национальной библиотеке (один том) и во французском институте (тринадцать томов). Эти рукописи были взяты французами в 1796 г. из Амброзианской библиотеки.

В 1881 г. Шарль Равессон Моллиен предпринял издание этих рукописей с фотографическими facsimile, буквальной транскрипцией, французским переводом, предисловием и систематическим оглавлением. Последний, четвертый том вышел в 1889 г. Amoretti, "Memori storiche sulla vita, gli studjet le opere di L. da V." (1804); Brun, в "Kunst u. Kunstler" Dohm'a, 3 части); Muller-Walde, "L. da V. Lebensskizze etc." (Мюнхен, 1889); Вазари, "Библиография Л. да В." (т. 45 "Библиотеки для Чтения", 1841) и Э. Франтца, "Тайная Вечеря Л. да В." (в "Вестнике Изящных Искусств", 1886).

Ученые работы Леонардо да Винчи заключаются главнейшие в следующем. Он изобрел так называемый овальный патрон, служащий для обтачивания эллипсов произвольного эксцентрицитета на токарном станке.

Известно, что он занимался различными вопросами механики, как можно судить по оставшимся после него записным книжкам, заключающим много весьма разнообразного материала; но цельных сочинений по механике не осталось.

Вентури в своем "Essai sur les ouvrages physicomathematiques de Leonard de Vinci" (Париж, 1797) указывает на то, что Леонардо да Винчи был известен закон возрастания скорости свободно падающего тела. Либри, в своей "Histoire des sciences mathematiques en Italie" (Париж, 1838 - 41) приписывает Леонардо да Винчи следующие исследования:

О падении тела по наклонной плоскости, о центрах тяжести пирамид, об ударе тел, о движении песка на звучащих пластинках; о законах трения, и изобретения: динамометра, одометра, некоторых кузнечных инструментов, лампы с двойным притоком воздуха; кроме того, Либри говорит, что Леонардо да Винчи написал сочинение по гидравлике. Ему приписывают также разъяснение видения предметов зараз двумя глазами, в отличие от рассматривания только одним.

Несколько лет назад инженеры, взяв чертежи различных конструкций Леонардо да Винчи, решили построить по ним машины. Так, рожденные в веке пятнадцатом, пришли в век двадцатый вертолет и планер, первый самодвижущийся экипаж с пружинным механизмом, и парашют, и выдвижная пожарная лестница. Страшное наводнение обрушилось на Флоренцию. Стали думать, как избежать затопления в будущем, и тут нашли проект Леонардо, проект защиты города от будущих наводнений, - подарок из века пятнадцатого веку двадцатому... В разные годы я прочитал разные книги о Леонардо, видел его картины в музеях Ленинграда, Лондона и Парижа. И всякий раз, читая эти книги и глядя на эти картины, думал о необыкновенном, фантастическом и, очевидно, единственном исключении, которое сделала природа для рода человеческого. Ей словно наскучила бесконечность обыденных характеров. Ее не удовлетворяли даже умы исключительной силы, отдавшие свой гений живописи или механике, музыке или ратному искусству. Она захотела соединить все эти таланты в одном человеке, наделив его одного таким разнообразием совершенств, каких хватило бы на добрый десяток людей, наверняка бы вошедших в историю прогресса. Необыкновенно красивый человек античного сложения, участник всех состязаний и турниров, прекрасный пловец, фехтовальщик, искуснейший всадник, шутник, острослов и блестящий рассказчик, эрудит-оратор, любезнейший кавалер, танцор, певец, поэт, музыкант и конструктор музыкальных инструментов, гениальный художник и теоретик искусства, математик, механик, астроном, геолог, ботаник, анатом, физиолог, военный инженер, мыслитель-материалист, далеко обогнавший свое время, - весь этот спектр сконцентрировался линзой эпохи Возрождения, породив какое-то почти волшебное празднество духовной расточительности, которое едва ли отмечается в календаре человечества чаще, чем один раз в тысячу лет. Это случилось 15 апреля 1452 года. У простой крестьянки, юной красавицы Катарины, родился сын Леонардо. Его мать скоро умерла, и отец - флорентийский нотариус Пьеро да Винчи- взял незаконнорожденного сына в свой дом. У него было три мачехи, две последние - почти одногодки с Леонардо, - и все любили его и баловали, так что сердце его не зачерствело без нежности, необходимой человеку хотя бы в детстве. В 14 лет стал он учеником великого тосканца Вероккио - скульптора и живописца, а в 20 лет был провозглашен "мастером", и действительно был уже мастером, неподражаемым и самобытным живописцем. Он работает всю жизнь и, очевидно, не представляет себе состояния, которое мы в быту называем отдыхом и покоем. Отдых для него лишь смена рода деятельности. Он творит всегда и везде. Когда его упрекали за то, что он долго не кончает "Тайную вечерю" он говорил, что упреки напрасны, что он занят только этой работой. - Да, но монахи говорят, что ты целыми днями не бываешь у картины, возразил миланский герцог. - Ваше высочество знает, - ответил Леонардо, - что мне осталось написать только голову Иуды, который был, как известно всему миру, величайшим канальей. Следовательно, необходимо дать ему физиономию, вполне соответствующую столь чудовищной подлости. Поэтому в течение года, а может быть и более, я ежедневно, утром и вечером, хожу в Боргетто, где, как известно вашему высочеству, живут все мошенники и негодяи вашей столицы. Но до сих пор я еще не могу найти ни одного злодейского лица, достаточно меня удовлетворяющего. Как только я найду такое лицо, я кончу картину в один день... Так он работал. Казалось бы, ему, избраннику судьбы, все давалось легко. Но нет, его всегда обуревают сомнения. Он делает десятки эскизов и набросков перед тем, как приняться за картину. "Если все кажется легким, - говорит он своим ученикам, - это безошибочно доказывает, что работник весьма мало искусен и что работа выше его разумения". Невиданная динамика "Благовещения", удивительный ритм и эмоциональная щедрость "Тайной вечери", почти мистический секрет улыбки "Моны Лизы" создали Леонардо-художнику всемирную славу, неподвластную четырем векам. Они стали символами таланта, хотя у таланта нет символов, и эталонами искусства, хотя у искусства не может быть эталонов. Его картины знают все. Но не все знают, что лишь копии и восторженные свидетельства пораженных современников остались нам от других работ его, очевидно, теперь уже навсегда утерянных. Юношей он собрал в ящик жуков, кузнечиков, змей, мышей, ящериц и, глядя на них, нарисовал фантастическое чудовище, столь ужасное, что отец его, войдя в комнату, где в лучах яркого солнца стояла картина, обратился в бегство. Этой картины нет. Историк искусства Вазари рассказывает о великолепном картоне "Грехопадение Адама и Евы", отмечая: "...никто не достиг подобного совершенства". Картон исчез. Около трех лет работает художник над эскизом полотна, которое должно было украсить большой зал флорентийского совета. Право на это оспаривали два титана: 52-летний Леонардо и 30-летний Микеланджело. Современники не могли дать предпочтение ни одной из них. И обе не дошли до нас. Потеряны портреты короля Франсиска и королевы Клавдии, потеряна рукопись "Что предпочтительнее: скульптура или живопись ?". Погибли десятки рисунков. Погибла расстрелянная гасконскими арбалетчиками модель конной статуи миланского герцога Франческо Сфорцы, над которой Леонардо работал 16 лет! Ее воспевали поэты, люди со всей Италии приходили в Милан, чтобы увидеть это чудо... Почему я пишу об утраченных картинах и скульптурах? Леонардо ставил живопись выше всех других своих занятий и к концу своей жизни почитался более всего как великий художник. И если в этом наследии его такие гигантские потери, то как же велики они в сфере научного и технического творчества! Но и при этом справедливом допущении как невероятно много сделал этот человек в мире науки и техники. Иногда он составлял математические пометки на полях рукописей, на клочках, рисовал чертежи, не заботясь о том, как, например, будут ломать себе головы, потомки над рисунком барки, о которой лишь мельком сказано, что она способна плыть против ветра. Может быть, он опередил Фултона с его пароходом – мы просто не знаем этого. Но мы знаем, что за 40 лет до Коперника он написал трактат о вращении Земли, за три века до Лавуазье говорил о "жизненном воздухе", который мы называем кислородом, почти на 100 лет обогнал он Кардано, изобретателя камеры-обскуры, на 300 лет Соссюра, изобретателя гигрометра.

Он стоит на пороге начал гигростатики, открытых Паскалем, шаг отделяет его от телескопа Галилея. Леонардо да Винчи ввел в математике знаки плюс и минус; бросая камни в воду, объяснил распространение звуковых волн; начертил со слов Америго Веспуччи первую карту Нового Света и высказал предположение, что "белый цвет есть причина всех цветов". Перед ним каскад прозрений в эпоху, когда алхимики бились над превращением ртути в золото, а схоласты спорили о том, материальна или не материальна одежда ангела, принесшего святой деве благую весть. Если говорить по большому счету, дело даже не в количестве сделанных им открытий и не в том даже, что многие из них (геликоптер, например) далеко обогнали свое время. Леонардо да Винчи в науке - это зарождение эпохи опыта, эпохи, и ныне царствующей в исследованиях и проникшей в современные области науки, еще не существовавшие во времена великого итальянца. Все окружающее было для него гигантской лабораторией, где исследовались мысль и чувство. "Одна только природа наставница высших умов", – пишет он. А в другой раз отмечает: "Истолкователем природы является опыт. Он не обманывает никогда. Наше суждение иногда обманывается, потому что ожидает результатов, не подтверждаемых опытом. Надо производить опыты, изменяя обстоятельства, пока не извлечем из них общих правил; потому что опыт доставляет истинные правила. Но к чему служат правила? – спросите вы. Я отвечу, что они, в свою очередь, направляют наши исследования в природе и наши работы в области искусства. Они предостерегают нас от злоупотреблений и от недостаточных результатов". В этих словах – целая научная программа, сохранившая всю свою ценность и по сей день.

Этот человек всю жизнь был зависим от сиятельных меценатов. У него были верные друзья и заклятые враги. Но даже здесь судьба сделала редчайшее исключение: у великого Леонардо были великие враги. Микеланджело, презрительно морща свой поломанный нос, утверждал, что его служанка разбирается в живописи и в скульптуре лучше, чем этот "миланский скрипач". Прозвище лишь подчеркивало многогранность Леонардо: он действительно был выдающимся музыкантом своего времени, любимцем пиров и карнавалов. Да, он был увлекающимся, даже несколько разбросанным, "разрывающимся на части", веселым балагуром, то пугающим своих друзей живой ящерицей с пришитыми кожаными крыльями, то потешающим толпу механическим львом. Некоторые биографы порицают его за это. Но ведь это несправедливо, потому что он любил не искусство и не науку, а жизнь. Ее видел он в новом механизме, и в прекрасном лице женщины, и в многоцветье радуги.

Он умирал весной 1519 года на чужбине, во французском городке Амбуазе. Рядом сидел король Франциск I, и больной старик, обращаясь к нему, просил прощения у бога и людей за то, что он сделал так мало в своей жизни.

Могилу его потеряли еще в XVII веке и, если бы не искусствовед Арсен Гуссе, возможно, никогда и не нашли бы. Вместе с садовником древнего королевского замка он перекопал много земли, прежде чем наткнулся на высоколобый череп, в котором еще сохранились зубы. Рядом Гуссе нашел камень с полустертыми буквами INC. Потом два других камня. На одном можно было прочесть: DUS, на другом LEO. Тогда он понял, что когда-то на плите было написано: LEONARDUS VINCIUS - имя человека, череп которого он держал в руках.

Пьер Ферма (1601 - 1665)

Ферма (Пьер Fеrmat) – знаменитый французский математик 1601 –1665). Сын торговца; изучил законоведение и с 1631 г. до конца жизни был советником Тулузского парламента. Научные сведения Ф., и притом не только в области наук математических, поражали его соотечественников разносторонностью. Владея южноевропейскими языками и глубоко изучив латинский и греческий, Ф. был гуманистом и поэтом, писавшим французские и латинские стихи. Из древних писателей он комментировал Атенея, Полиенуса, Синезиуса, Теона Смирнского и Фронтина, исправил текст Секста Эмпирика. Изучив творения Бакона Веруламского, он не только проник в их смысл глубже Декарта, но в отношении экспериментального метода он пошел даже далее самого их автора, так как не ограничился одним теоретическим знакомством с методом, но в ряде опытов по предмету экспериментальной механики дал ему непосредственное приложение к действительности. При жизни Ф. об его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вел с другими учеными, преимущественно с Мерсеннем, Робервалем, Паскалями, Этьенном и Блезом, Декартом, Френиклем, Каркави, Гассенди, Сенье, Булльо, Дигби, Клерселье, Лалувером и Гюйгенсом. Сам Ф. напечатал только два свои произведения: геометрическую диссертацию "De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione" (Тулуза, 1660), вместе с приложением к ней и анонимную статью без заглавия, вошедшую в качестве "первой части второго прибавления" в состав книги иезуита Лалувера: "Veterum Greometria promota in septem de Cycloide libris, et in duabus adjectis Appendicibus" (Тулуза, 1660). Из переписки Ф. при его жизни в печать проникли, кроме нескольких отрывков, письмо к Гассенди, помешенное в VI томе "Собрания сочинений" последнего (Лион, 1658), и девять писем, напечатанных английским математиком Валлисом в его издании "Commtrcium epistolicum de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper habitum inter nobilissimos Viros etc." (Оксфорд, 1658). Этих работ Ферма оказалось, однако же, вполне достаточным для единогласного его признания современниками одним из выдающихся математиков. Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих относящихся к 1629 г. работах о наибольших и наименьших величинах, - работах, открывших собою тот из важнейших рядов исследований Ферма, который является одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности. Метод Ферма нахождения наибольших и наименьших величин состоял в следующем. В выражение, переходящее в свое наибольшее или наименьшее значение, вместо неизвестного х вставляется сумма двух неизвестных х+е. Полученная через эту подстановку новая форма выражения приравнивается его первоначальной форме, чем и порождается взгляд на неизвестное е, как на величину крайне малую. В найденном, таким образом, уравнении опускаются содержащиеся в обеих его частях одинаковые члены, оставшиеся делятся на е и те из них, в которых е удержалось и после деления, опускаются совсем. В результате получается уравнение, доставляющее наибольшее или наименьшее значение неизвестного х.

Метод изложенный первоначально в статье "Methodus ad disquirendam maximum et minimam", лег в основание и двух следовавших за ним, также очень важных работ Ферма. в той же области, а именно, способа проведения касательных к кривым и приема определения центра тяжести параболоида вращения. Из них первый сделался известным в 1642 г. из "Дополнения" к "Cursus mathematici" Геригона, а второй – из статьи "Centrum gravitatis parabolici conoidis, ex eadem methodo", пересланной в 1638 г. через Мерсення Робервалю. В ряде исследований Ферма по предмету высшего анализа все указанные до сих пор могут быть обозначены, следуя новейшей терминологии, одним общим названием приложений дифференциального исчисления. Что касается остальных исследований из принадлежащих тому же ряду, то они также могут быть соединены в одну группу, общая характеристика которой вполне исчерпывается термином приложения интегрального исчисления. Членами этой группы были квадратуры, кубатуры и ректификации. Первое сделавшееся известным изложение результатов работ Ф. по предмету квадратур и кубатур представляет упомянутая уже выше статья ("Ad Bon. Cavalierii quaestiones responsa"), посланная автором в 1644 г. Кавальери через посредство Мерсення. Предмет ее состоит в несопровождаемом доказательствами изложении данных автором решений вопросов Кавальери. Она содержит в себе квадратуры парабол различных порядков, кубатуры происходящих от них тел вращения и определения центров тяжести последних. В гораздо более подробном виде знакомит с теми же работами Ферма другое, по-видимому, более позднее сочинение, напечатанное после смерти автора: "De aequationum localium transmutatione et emendatione ad multimodam curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationern, cui annectitur proportionis geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usus". Что касается найденного Ферма способа ректификации или выпрямления кривых, то он изложен в его уже упомянутой выше диссертации "De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione". Не менее важными по своим последствиям, чем работы по высшему анализу, и едва ли не более блестящими по своей глубине и остроумию были результаты исследований Ферма в области теории чисел. Особого, посвященного им сочинения автор не оставил, но сохранились заметки, рассеянные и, по большей части, без доказательств в письмах Ферма, и в особенности на полях принадлежащего автору экземпляра сочинений Диофанта в издании Баше де Мезириака. В числе заметок на экземпляре сочинений Диофанта находилось важнейшее из открытий Ферма в области теории чисел, - теорема о невозможности разложения какой-нибудь степени, за единственным исключением квадрата, на две такие же степени. Знаменитое предложение, известное под именем теоремы Ферма и выражаемое сравнением (mod p), в котором р есть первоначальное число, а а есть число, не делящееся на р, было дано Ферма в письме к неизвестному лицу от 18 октября 1640 г. Доказательство первой из этих двух теорем было найдено позднейшими математиками (Эйлером, Дирикле, Куммером) только с большим трудом, и притом в формах, которыми сам Ферма никак не мог пользоваться. Из других работ Ферма остается упомянуть:

1) об его занятиях решением некоторых вопросов теории вероятностей, вызванных или поставленных перепискою с Блезом Паскалем;

2) о попытках восстановления некоторых из утраченных произведений древних греческих математиков и, наконец,

3) об его спорах с Декартом по поводу метода определения наибольших и наименьших величин и по вопросам диоптрики.

Сочинениями, которые Ферма намеревался восстановить, были "Поризмы" Эвклида и "Плоские места" Аполлония Пергейского. Поводом ко второму из вышеупомянутых споров Ферма с Декартом был найденный последним закон преломления. Ферма находил сомнительным утверждение противника, что свет при прохождении через тело встречает тем менее сопротивления, чем это тело плотнее. Также спорил он и против утверждения, что отражение света может быть объяснено отскакиванием неупругих световых частиц. Позднее, после смерти Декарта, спор по тем же предметам Ферма продолжал с его учеником Kлepселье. Собрание математических сочинений и писем Ферма было издано в, первый раз его сыном Самюелем в 1679 г.: "Varia opera mathematica D. Petri de Fermat, Senatoris tolosani. Accesserunt selectae quaedam ejusdem Epistolae, vel ad ipsum a plerisque doctissimis viris Gallice, Latine, vel Italice, de rebus ad Mathematicis disciplinas aut Physicam pertinentibus scriptae" (Тулуза). В 1861 г. в Берлине появилась перепечатка этого издания, сделанная Фридлендером. Новое, более полное и совершенное собрание сочинений Ф. было издано в Париже в трех томах, под заглавием "Oeuvres de Fermat, publiees par les soins de P. Tannery et Ch. Henry" (1896).

Якоб Бернулли (27 декабря 1654 — 16 августа 1705)

Якоб Бернулли родился 27 декабря 1654 года в городе Базель. Родители его были преуспевающими фармацевтами. В юном возрасте увлекся математикой, изучал ее вначале самостоятельно, затем совершил много поездок по Европе, для того чтобы встретится с великими математиками своего времени. Поддерживал отношения с Гуком Бойлем, Лейбницем. Занимался аналитической геометрией, один из основоположников вариационного исчисления. Много сделал для развития теории рядов, дифференциального исчисления, теории чисел, в честь него названы «числа Бернулли».

Увлекался изучением теории вероятности, ввел большое количество современных терминов в этом разделе математики. Именно он сформулировал первый вариант закона больших чисел. Определил практические варианты применения статистики и комбинаторики. Его именем названо одно из основополагающих в теории комбинаторики положений «распределение Бернулли».

Также увлек математикой своего брата Иоганна. Втроем с Лейбницем они долгое время вели переписку, развивая различные области математики.

Якоб Бернулли имел должность профессора математики и физики Базельского университета, был избран иностранным членом Парижской Академии наук. Его вклад в развитие математики трудно переоценить. Благодарные потомки назвали в его честь кратер на Луне.

Андреа Палладио (итал. Andrea Palladio; 30 ноября 1508 – 19 августа 1580, наст. имя – Андреа ди Пьетро) – великий итальянский архитектор позднего Возрождения. Основоположник палладианства и классицизма. Вероятно, самый влиятельный архитектор в истории.

На примере своих простых и изящных построек он продемонстрировал, как достижения античности и Высокого Возрождения (преимущественно в римском варианте) могут быть творчески переработаны и использованы, т. е. сделал классический язык архитектуры общедоступным и универсальным. Его опыт оказался особенно ценным для зодчих 17-18 вв. Последователи мастера образовали целое направление в европейской архитектуре, получившее название палладианства.

Палладио родился 30 ноября 1508 в Падуе; вскоре семья переехала в Виченцу, где в основном и протекала его творческая деятельность. Гуманист Джанджорджо Триссино (1478-1550) стал его покровителем и убедил сменить имя архитектора Андреа ди Пьетро (Andrea di Pietro) на псевдоним Палладио (от греч. Палладион: так называлась статуя богини Афины Паллады, которая, согласно верованиям афинян, защищала город от врагов). Именно по совету Триссино будущий архитектор отправился учиться в Рим, а по возвращении знаменитый гуманист стал его первым заказчиком. В 1545 Палладио выиграл конкурс на право перестройки Базилики в Виченце. Двумя важнейшими сферами его деятельности было строительство городских домов (т.н. палаццо, или дворцов) и загородных резиденций (вилл).

К раннему периоду творчества Палладио относятся проекты вилл Годи в Лонедо (1540) и Пизани в Баньоло (1544). В обоих случаях он создал прекрасные образцы сочетания архитектуры и природного ландшафта. Умение подчеркнуть гармоничность постройки, искусно разместив ее на фоне живописных венецианских пейзажей, пригодилось ему и в дальнейшем при сооружении вилл Мальконтента (1558), Барбаро-Вольпи в Мазере (1560-1570), Корнаро (1566) и, наконец, виллы "Ротонда" (или Капра) в Виченце (1551-1567). Последняя по праву считается самой совершенной постройкой архитектора. Это квадратное в плане здание с ионическими шестиколонными портиками на каждом фасаде. Все четыре портика ведут к круглому центральному залу, перекрытому невысоким куполом под черепичной кровлей.

В оформлении фасадов вилл и городских домов Палладио обычно применял большой ордер, как это можно видеть на примере палаццо Кьерикати в Виченце (1550). Огромные колонны возвышаются на стилобатах (каменных плитах под колоннами) – обычных, как в палаццо Вальмарана (начато в 1566) и в незаконченной Лоджии дель Капитанио (1571), или очень высоких, целиком поглощающих первый этаж, как в палаццо Тьене (1556).

В конце своего творческого пути Палладио обратился к церковной архитектуре. Ему принадлежат церковь Сан Пьетро в Кастелло (1558), а также Сан Джорджо Маджоре (1565-1580) и Иль Реденторе (1577-1592) в Венеции. Незадолго до смерти архитектор создал проект театра Олимпико, который был впоследствии построен Виченцо Скамоцци. Умер Палладио в Виченце 19 августа 1580.

Палладио завоевал огромную известность не только как архитектор, но и как автор трактата Четыре книги об архитектуре (1570), который был переведен на многие языки. В этом сочинении, представляющем собой ренессансную интерпретацию трактата Витрувия Десять книг об архитектуре, наряду с обмерами античных памятников Италии и Франции он поместил рисунки и схемы, иллюстрирующие разработанные им самим принципы архитектурной композиции. Его творчество оказало влияние на развитие классицистического направления в европейском зодчестве 17-18 вв. В Англии последователями Палладио стали И.Джонс и К.Рен, во Франции — архитекторы, работавшие по заказам французских королей Людовика XIV и Людовика XV, в Италии — В.Скамоцци.

Рене Декарт

Рене Декарт родился 31 марта 1596 года в городе Лаэ (ныне Декарт), департамент Эндр и Луара, Франция. Его мать умерла, когда мальчику был всего год. Отец Декарта был городским судьёй в Ренне, и в Лаэ появлялся редко. Воспитанием мальчика занималась бабушка по матери. В детстве Рене отличался хрупким здоровьем и невероятной любознательностью.

Начальное образование он получил в иезутиском колледже. Религиозное образование послужило толчком росту скептичесоког недоверия молодого Декарта к тогдашним философским авторитетам. Позже он сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

Некоторое время он был военным, путешествовал. В 1628 – 1649 годах жил в Голландии. Но все же математическая точность и логика привела его в лоно науки. Его научные исследования в области физики относятся главным образом к механике, оптике и строению Вселенной.

Декарт ввел понятие меры движения (количества движения), подразумевая под ним произведение массы тела на абсолютное значение его скорости, сформулировал закон сохранения движения, однако толковал его, не учитывая, что количество движения является векторной величиной (1664). Исследовал законы удара, впервые четко сформулировал закон инерции (1644). Высказал предположение, что атмосферное давление с увеличением высоты уменьшается. В 1637 году положил начало оптике как науке, опубликовав «Диоптрику», где содержались законы распространения света, отражения и преломления, идея эфира как переносчика света, объяснение радуги.

Первый математически вывел закон преломления света (экспериментально этот закон установил около 1621 года В. Снеллиус). Дал теорию магнетизма.

В математике Декарт первым ввел в 1637 году понятие переменной величины и функции, заложил основы аналитической геометрии.

В учении о познании был основоположником рационализма. Он стремился построить общую картину природы, в которой все физические явления объяснялись бы как результат движения больших и малых частиц, образованных из единой материи. Но, не имея возможности опираться на достаточный экспериментальный материал, Декарт злоупотреблял гипотетическими построениями.

В 1649 году переехал в Стокгольм, где умер 11 февраля 1650 года.

Блез Паскаль

Блез Паскаль (1623-1662) – французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей.

Блез Паскаль сконструировал (1641, по другим сведениям – 1642) суммирующую машину. Один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон (Закон Паскаля: давление на поверхность жидкости, производимое внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях). На законе Паскаля основано действие гидравлических прессов и других гидростатических машин.

Работы по теории воздушного давления. Сблизившись с представителями янсенизма, Блез Паскаль с 1655 вел полумонашеский образ жизни. Полемика с иезуитами отразилась в «Письмах к провинциалу» (1656-57) – шедевре французской сатирической прозы. В «Мыслях» (опубликованы в 1669). Паскаль развивает представление о трагичности и хрупкости человека, находящегося между двумя безднами – бесконечностью и ничтожеством (человек – «мыслящий тростник»). Путь постижения тайн бытия и спасения человека от отчаяния видел в христианстве. Б. Паскаль сыграл значительную роль в формировании французской классической прозы.

Блез Паскаль – сын Этьена Паскаля и Антуанетты, урожденной Бегон, родился в Клермоне 19 июня 1623 года. Вся семья Паскалей отличалась выдающимися способностями. Что касается самого Блеза, он с раннего детства обнаруживал признаки необыкновенного умственного развития.

В 1631 году, когда маленькому Паскалю было восемь лет, его отец переселился со всеми детьми в Париж, продав по тогдашнему обычаю свою должность и вложив значительную часть своего небольшого капитала в Отель де-Билль.

Имея много свободного времени, Этьен Паскаль специально занялся умственным воспитанием сына. Он сам много занимался математикой и любил собирать у себя в доме математиков. Но, составив план занятий сына, он отложил математику до тех пор, пока сын не усовершенствуется в латыни. Юный Паскаль просил отца объяснить, по крайней мере, что за наука геометрия? «Геометрия, – ответил отец, – есть наука, дающая средство правильно чертить фигуры и находить отношения, существующие между этими фигурами».

Каково же было удивление отца, когда он нашел сына, самостоятельно пытающегося доказать свойства треугольника. Отец дал Блезу Евклидовы «Начала», позволив читать их в часы отдыха. Мальчик прочел Евклидову «Геометрию» сам, ни разу не попросив объяснения.

Собрания, проходившие у отца Паскаля и у некоторых из его приятелей, имели характер настоящих ученых заседаний. Раз в неделю математики, примыкавшие к кружку Этьена Паскаля, собирались, чтобы читать сочинения членов кружка, предлагать разные вопросы и задачи. Иногда читались также присланные заграничными учеными записки. Деятельность этого скромного частного общества или, скорее, приятельского кружка стала началом будущей славной Парижской академии.

С шестнадцатилетнего возраста молодой Блез Паскаль также стал принимать деятельное участие в занятиях кружка. Он был уже настолько силен в математике, что овладел почти всеми известными в то время методами, и среди членов, наиболее часто представлявших новые сообщения, он был одним из первых. Очень часто из Италии и Германии присылались задачи и теоремы, и если в присланном была какая-либо ошибка, Паскаль одним из первых замечал ее.

Шестнадцати лет Блез Паскаль написал весьма примечательный трактат о конических сечениях, то есть о кривых линиях, получающихся при пересечении конуса плоскостью, – таковы эллипс, парабола и гипербола. От этого трактата, к сожалению, уцелел лишь отрывок. Родственники и приятели Паскаля утверждали, что «со времен Архимеда в области геометрии не было сделано подобных умственных усилий» — отзыв преувеличенный, но вызванный удивлением к необычайной молодости автора.

Однако усиленные занятия вскоре подорвали и без того слабое здоровье Паскаля. В восемнадцать лет он уже постоянно жаловался на головную боль, на что первоначально не обращали особого внимания. Но окончательно расстроилось здоровье Паскаля во время чрезмерных работ над изобретенной им арифметической машиной.

Придуманная Паскалем машина была довольно сложна по устройству, и вычисление с ее помощью требовало значительного навыка. Этим и объясняется, почему она осталась механической диковинкой, возбуждавшей удивление современников, но не вошедшей в практическое употребление.

Со времени изобретения Блезом Паскалем арифметической машины имя его стало известным не только во Франции, но и за ее пределами.

В 1643 году один из способнейших учеников Галилея, Торричелли, исполнил желание своего учителя и предпринял опыты по подъему различных жидкостей в трубках и насосах. Торричелли вывел, что причиною подъема как воды, так и ртути является вес столба воздуха, давящего на открытую поверхность жидкости. Таким образом, был изобретен барометр и явилось очевидное доказательство весомости воздуха.

Эти эксперименты заинтересовали Паскаля. Опыты Торричелли, сообщенные ему Мерсенном, убедили молодого ученого в том, что есть возможность получить пустоту, если не абсолютную, то, по крайней мере, такую, в которой нет ни воздуха, ни паров воды. Отлично зная, что воздух имеет вес, Блез Паскаль напал на мысль объяснить явления, наблюдаемые в насосах и в трубках, действием этого веса. Главная трудность, однако, состояла в том, чтобы объяснить способ передачи давления воздуха.

Блез, напав на мысль о влиянии веса воздуха, рассуждал так: если давление воздуха действительно служит причиной рассматриваемых явлений, то из этого следует, что чем меньше или ниже, при прочих равных условиях, столб воздуха, давящий на ртуть, тем ниже будет стол ртути в барометрической трубке. Стало быть, если мы поднимемся на высокую гору, барометр должен опуститься, так как мы стали ближе прежнего к крайним слоям атмосферы и находящийся над нами стол воздуха уменьшился.

Паскалю тотчас же пришла мысль проверить это положение опытом, и он вспомнил о находящейся подле Клермона горе Пюи-де-Дом. 15 ноября 1647 года Блез Паскаль провел первый эксперимент. По мере подъема на Пюи-де-Дом ртуть понижалась в трубке — и так значительно, что разница на вершине горы и у ее подошвы составила более трех дюймов. Этот и другие опыты окончательно убедили Паскаля в том, что явление подъема жидкостей в насосах и трубках обусловлено весом воздуха. Оставалось объяснить способ передачи давления воздуха.

Наконец, Паскаль показал, что давление жидкости распространяется во все стороны равномерно и что из этого свойства жидкостей вытекают почти все остальные их механические свойства; затем Паскаль показал, что и давление воздуха по способу своего распространения совершенно подобно давлению воды.

По тем открытиям, которые были сделаны Паскалем относительно равновесия жидкостей и газов, следовало ожидать, что из него выйдет один из крупнейших экспериментаторов всех времен. Но здоровье...

Состояние здоровья сына нередко внушало отцу серьезные опасения, и с помощью друзей дома он не раз убеждал молодого Паскаля развлечься, отказаться от исключительно научных занятий. Врачи, видя его в таком состоянии, запретили ему всякого рода занятия; но этот живой и деятельный ум не мог оставаться праздным. Не будучи более занят ни науками, ни делами благочестия, Блез Паскаль начал искать удовольствий и, наконец, стал вести светскую жизнь, играть и развлекаться. Первоначально все это было умеренно, но постепенно он вошел во вкус и стал жить, как все светские люди.

После смерти отца Паскаль, став неограниченным хозяином своего состояния, в течение некоторого времени продолжал еще жить светскою жизнью, хотя все чаще и чаще у него наступали периоды раскаяния. Было, однако, время, когда Блез Паскаль стал неравнодушен к женскому обществу: так, между прочим, он ухаживал в провинции Пуату за одной весьма образованной и прелестной девицей, писавшей стихи и получившей прозвище местной Сафо. Еще более серьезные чувства явились у Паскаля по отношению к сестре губернатора провинции, герцога Роанеза.

По всей вероятности, Блез или вовсе не решился сказать любимой девушке о своих чувствах, или выразил их в такой скрытой форме, что девица Роанез, в свою очередь, не решилась подать ему ни малейшей надежды, хотя если не любила, то высоко чтила Паскаля. Разность общественных положений, светские предрассудки и естественная девическая стыдливость не дали ей возможности обнадежить Паскаля, который мало-помалу привык к мысли, что эта знатная и богатая красавица никогда не будет принадлежать ему.

Втянувшись в светскую жизнь, Паскаль, однако, никогда не был и не мог быть светским человеком. Он был застенчив, даже робок, и в то же время чересчур наивен, так что многие его искренние порывы казались просто мещанской невоспитанностью и бестактностью.

Однако светские развлечения, как ни парадоксально, способствовали одному из математических открытий Паскаля. Некто кавалер де Мере, хороший знакомый ученого, страстно любил играть в кости. Он и поставил перед Блезом Паскалем и другими математиками две задачи. Первая: как узнать, сколько раз надо метать две кости в надежде получить наибольшее число очков, то есть двенадцать; другая: как распределить выигрыш между двумя игроками в случае неоконченной партии.

Математики привыкли иметь дело с вопросами, допускающими вполне достоверное, точное или, по крайней мере, приблизительное решение. Здесь предстояло решить вопрос, не зная, который из игроков мог бы выиграть в случае продолжения игры? Ясно, что речь шла о задаче, которую надо было решить на основании степени вероятности выигрыша или проигрыша того или другого игрока. Но до тех пор ни одному математику еще не приходило в голову вычислять события только вероятные. Казалось, что задача допускает лишь гадательное решение, то есть что делить ставку надо совершенно наудачу, например, метанием жребия, определяющего, за кем должен остаться окончательный выигрыш.

Необходим был гений Паскаля и Ферма, чтобы понять, что такого рода задачи допускают вполне определенные решения и что «вероятность» есть величина, доступная измерению.

Первая задача сравнительно легка: надо определить, сколько может быть различных сочетаний очков; лишь одно из этих сочетаний благоприятно событию, все остальные неблагоприятны, и вероятность вычисляется очень просто.

Вторая задача значительно труднее. Обе были решены одновременно в Тулузе математиком Ферма и в Париже Паскалем. По этому поводу в 1654 году между Паскалем и Ферма завязалась переписка, и, не будучи знакомы лично, они стали лучшими друзьями. Ферма решил обе задачи посредством придуманной им теории сочетаний. Решение Паскаля было значительно проще: он исходил из чисто арифметических соображений. Нимало не завидуя Ферма, Паскаль, наоборот, радовался совпадению результатов и писал: «С этих пор я желал бы раскрыть перед вами свою душу, так я рад тому, что наши мысли встретились. Я вижу, что истина одна и та же в Тулузе и в Париже».

Теория вероятностей имеет огромное применение. Во всех случаях, когда явления чересчур сложны, чтобы допустить абсолютно достоверное предсказание, теория вероятностей дает возможность получить результаты, весьма близкие к реальным и вполне годные на практике.

Работы над теорией вероятностей привели Блеза Паскаля к другому замечательному математическому открытию, он составил так называемый арифметический треугольник, позволяющий заменять многие весьма сложные алгебраические вычисления простейшими арифметическими действиями.

Однажды ночью мучимый жесточайшей зубною болью ученый стал вдруг думать о вопросах, касающихся свойств так называемой циклоиды – кривой линии, обозначающей путь, проходимый точкой, катящейся по прямой линии круга, например колеса. За одной мыслью последовала другая, образовалась целая цепь теорем. Изумленный ученый стал писать с необычайной быстротою. Все исследование было написано в восемь дней, причем Паскаль писал сразу, не переписывая. Две типографии едва поспевали за ним, и только что исписанные листы тотчас сдавались в набор. Таким образом, явились в свет последние научные работы Паскаля.

Это замечательное исследование о циклоиде приблизило Паскаля к открытию дифференциального исчисления, то есть анализа бесконечно малых величин, но все же честь этого открытия досталась не ему, а Лейбницу и Ньютону. Будь Блез Паскаль более здоров духом и телом, он, несомненно, довел бы свой труд до конца. У Паскаля мы видим уже вполне ясное представление о бесконечных величинах, но вместо того, чтобы развить его и применить в математике, Паскаль отвел широкое место бесконечному лишь в своей апологии христианства.

Паскаль не оставил после себя ни одного цельного философского трактата, тем не менее в истории философии он занимает вполне определенное место. Как философ Блез Паскаль представляет в высшей степени своеобразное соединение скептика и пессимиста с искренно верующим мистиком; отголоски его философии можно встретить даже там, где их менее всего ожидаешь. Многие из блестящих мыслей Паскаля повторяются в несколько измененном виде не только Лейбницем, Жан Жаком Руссо, Артуром Шопенгауэром, Львом Толстым, но даже таким противоположным Паскалю мыслителем, как Вольтер. Так, например, известное положение Вольтера, гласящее, что в жизни человечества малые поводы часто влекут за собою огромные последствия, навеяно чтением «Мыслей» Паскаля.

«Мысли» Паскаля часто сопоставляли с «Опытами» Монтеня и с философскими сочинениями Декарта. У Монтеня Паскаль заимствовал несколько мыслей, передав их по-своему и выразив их своим сжатым, отрывочным, но в то же время образным и пламенным слогом С Рене Декартом Блез Паскаль согласен лишь по вопросу об автоматизме, да еще в том, что признает, подобно Декарту, наше сознание непреложным доказательством нашего существования. Но исходная точка Паскаля и в этих случаях отличается от декартовской. «Я мыслю, стало быть – существую», – говорит Декарт. «Я сочувствую ближним, стало быть, я существую, и не только материально, но и духовно», – говорит Паскаль. У Декарта божество есть не более как внешняя сила; для Паскаля божество есть начало любви, в одно и то же время внешнее и присутствующее в нас Паскаль насмехался над декартовским понятием о божестве не в меньшей мере, чем над его «тончайшей материей».

Последние годы жизни Паскаля были рядом непрерывных физических страданий. Он выносил их с изумительным героизмом. Потеряв сознание, после суточной агонии Блез Паскаль умер 19 августа 1662 года, тридцати девяти лет от роду.

Лимакона или Улитка Паскаля (Limacon of Pascal)

А как поведут себя кривые, если брать точку не самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона

Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)

Кардиоида (Cardioid)

Если использовать две окружности с одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг другой, то получится кардиоида (греч.кардиа - сердце) - по мнению математиков, получаемая кривая отдаленно напоминает сердце

Формула r = 2a(1 + cos(theta)) рисует кардиоиду

Лимакона или Улитка Паскаля (Limacon of Pascal)

А как поведут себя кривые, если брать точку не самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона.

Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)

Формула r = b + 2a cos(theta) рисует лимакону (улитку Паскаля)

При b = 2a лимакона становится кардиодидом

Эффекты с кривыми

Итак, мы знаем формулы окружности, кардиоиды и улитки Паскаля. Видно, что формулы весьма схожи, осталось объединить их в один цикл для получения первого эффекта

Гаспар Монж (Gaspard Monge) (10 мая 1746—28 июля 1818)

Первоначальное образование получил в городском училище города Бона. Преподавание в этом училище сосредоточивалось почти исключительно на древних языках; физико-математическими науками, к которым Монж имел особенное влечение, ему пришлось заниматься без посторонней помощи.

В возрасте 16 лет Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при его составлении способы и приборы для измерения углов и черчения линий были изобретены самим составителем.

Поступив в дополнительное отделение для подготовления инженерных кондукторов Мезьерской школы военных инженеров, Монж скоро выдвинулся из среды товарищей. Данное им прямое и легкое решение задачи дефилирования укрепления дало повод начальству школы назначить его репетитором математики.

С этого же времени начинается учёная деятельность Монжа, первым результатом которой было создание «Начертательной геометрии» — этого важнейшего из его учёных трудов. Нежелание дать иностранцам возможность пользоваться плодами изобретений французского гения побудило начальника Мезьерской школы запретить Монжу обнародование его открытия. Другим крупным трудом Монжа были исследования по теории поверхностей, изложенные в ряде мемуаров, представленных им в академии парижскую и туринскую.

В 1768 году Монж назначен был профессором математики; кроме того, в 1771 году (по смерти аббата Нолле) кафедра физики была также передана Монжу. Следует отметить произведенное им в 1783 году разложение воды, хотя эта работа была сделана и после однородной работы Генри Кавендиша, но до получения сведений об этой последней и потому составляет неотъемлемую собственность Монжа.

В 1780 году Монж назначен преподавателем гидравлики в школе, учрежденной в Лувре, с обязательством жить в Мезьере и в Париже по полугоду. В том же году Монж избран в члены Академии. Совсем оставить Мезьер Монжу пришлось в 1783 году.

Избранный в академики, Монж, кроме исследований по высшему анализу, изложенных в ряде прекрасных мемуаров в изданиях Академии, занимался вместе с Бертолле и Вандермонтом изучением различных состояний железа, производил опыты над капиллярностью, делал наблюдения над оптическими явлениями, работал, хотя и неудачно, над построением теории главных метеорологических явлений, наконец, в значительной степени усовершенствовал практическую механику. В этой последней он показал, что все сложные машины, как бы сложны они ни были, приводятся к очень небольшому числу составных элементов; дал таблицы, объясняющие смену одних движений другими, вызываемую связью между частями машины; показал более выгодные способы употребления при работах сил воды, воздуха и пара.

К этому же времени относится составление его известного «Traité de statique» (П., 1788). Великая французская революция нашла в Монже горячего сторонника. В эту эпоху он был назначен сперва членом комиссии установления новой системы мер и весов, а в 1792 году занял пост морского министра, остававшийся за ним до 10 апреля 1793 году.

Несмотря на скупость государственной казны, энергии Монжа удалось отчасти пополнить опустившие арсеналы и приступить к возведению на берегах необходимых построек. Ещё важнее было то, что Монж указал и популярно изложил способы добывания из земли в хлевах, погребах и кладбищах необходимой для выделки пороха селитры и что он устроил множество литейных пушечных заводов, фабрик холодного оружия и для выделки ружей. Из его наставлений для рабочих впоследствии составился его знаменитый в артиллерийской технике труд «L’Art de fabriquer les canons» (1794).

Не получая за всю свою работу никакого вознаграждения от обанкротившегося государства, он дошёл до такой бедности, что должен был питаться одним хлебом, а основанное на доносе привратника обвинение заставило его спасаться бегством. Быстрая смена направлений очень скоро, однако, позволила ему возвратиться в Париж. С этого времени он уже более не принимал непосредственного участия в делах государственного управления и всецело предался учёной и преподавательской деятельности.

В учрежденной после 9 термидора Нормальной школе он впервые ввёл в программу обучения курс начертательной геометрии, записки которого, составленные слушателями, получили быстрое распространение.

Перелом педагогической деятельности Монжа были труды по устройству преподавания и осуществлению его на деле в основанной в конце 1794 года знаменитой Политехнической школе. По закрытии в 1793 году академий и учреждении через год заменившего их Национального института, в выработке устава которого Монж принимал заметное участие, он находился в числе первых 48 членов нового учёного учреждения, которые были назначены правительством.

Посланный в 1796 г. в Италию для приема входящих в состав военной контрибуции картин и статуй, он познакомился и подружился с Наполеоном Бонапартом. В 1798 году правительство возложило на него вместе с двумя другими лицами трудную задачу установления на основах французской конституции III года Римской республики, долженствовавшей сменить уничтоженную французскими войсками светскую власть пап. Однако же Монж и его товарищи не могли восторжествовать над трудностями возложенной на них задачи.

Наполеон, собираясь к походу на Египет, предложил ему и Бертолле собрать учёную экспедицию, которая должна была сопровождать отправляющуюся в поход армию и имела целью изучение завоевываемых стран и распространение в них просвещения. Значительную часть этой экспедиции составили лица, принадлежавшие к Политехнической школе. 29 августа 1798 году в Каире из членов этой экспедиции и некоторых военных, к числу которых принадлежал и сам Наполеон, был образован Египетский институт, устроенный по образцу Французского и избравший своим президентом Монжа.

Работы членов нового института помещались в издаваемой им «Décade Egyptienne», выходившей через десятидневные промежутки. В нём в первый раз появился в свет мемуар Монжа о мираже. Во времена Империи он был назначен сенатором и получил титул графа Пелузского и высшую степень ордена Почетного легиона. По его ходатайствам не раз выдавились из личных средств императора более или менее значительные суммы разным лицам в виде пособий, а однажды император прислал и ему самому сумму в 100000 франков. Мало-помалу у Монжа изменились его убеждения, обратившиеся из республиканских в империалистские.

После падения Империи и восстановления Бурбонов Монж потерял всё полученное при Империи и даже занятое им ещё до революции кресло академика. Распоряжением правительства в 1816 году он и Карно были исключены из преобразованного на новый лад института и замещены Коши и Брегетом. От всех этих бедствий, довершенных ссылкой его зятя Эшассерио, как бывшего члена конвента, Монж психически заболел и вскоре скончался.