Примеры для самостоятельной работы

Вычислить повторные интегралы в полярных координатах:

32. ;33. ;34. .

Вычислить двойные интегралы в полярных координатах по указанным областям:

35. , где область определена неравенствами ,;

36. , где область ограничена линиями  = 1,  = 2 + cos, полярной осью и расположена выше полярной оси;

37. , где область ограничена полярной осью, линией и расположена выше полярной оси.

Расставить пределы интегрирования в двойных интегралах по указанным областям:

38. Область  ограничена окружностями  = R,  = 2R cos  и находится выше первой окружности;

39. Область  ограничена линиями  = 1,  = 2 + cos.

В двойном интеграле перейти к полярным координатам, положивх =  cos, у =  sin, и расставить пределы интегрирования в случае указанных областей D:

40. Область D ограничена линиями х² + у² = 1, х² + у² = 4, у = х, ;

41. Область D ограничена линией х² + у² = 2Rу;

42. Область D ограничена линией (х² + у²)² = 4(х² – у²).

Переменить порядок интегрирования в следующих интегралах, заданных в полярных координатах:

43. ;44. ;45. .

Вычислить двойные интегралы, введя полярные координаты:

45., гдеD ограничена линиями х² + у² = 4, х² + у² = 16 (х  0, у  0);

46., гдеD определена неравенствами х² + у²  2Rx (у  0);

47., гдеD – круг х² + у²  16;

48., гдеD ограничена линиями (х² + у²)² = 4(х² - у²), y = 0,(х > 0, у > 0);

49., гдеD ограничена линией (х² + у²) = 2ху;

50. Вычислить , введя новые переменныеx = u(1 - v), y = uv;

51. Вычислить , если областьD ограничена линиями ху = 1, ху = 2, у = х, у = 3х (произвести замену переменных ,).

1.3. Несобственные двойные интегралы

Интегралы, распространенные на неограниченную область. Рассмотрим функцию f(x, y), определенную в неограниченной области D. Предположим, что эта функция интегрируема в любой части D^’ области D, т.е. существует двойной интеграл

. (17)

Кривую , отсекающую область D^’, всеми ее точками станем удалять в бесконечность так, чтобы наименьшее расстояние R ее точек до начала координат неограниченно возрастало, а отсекаемая ею переменная область D^’ постепенно охватывала все точки области D.

Несобственным интегралом от функции f(x, y) в неограниченной области D называется предел (конечный или бесконечный) интеграла (17) при R :

. (18)

В случае существования конечного предела интеграл (18) называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Функция, для которой интеграл (18) сходится, называется интегрируемой (в несобственном смысле) в области D.

Пусть далее функция f(x, y) задана в неограниченной области любого вида. Полагая ее равной нулю вне этой области, всегда можно свести дело к случаю неограниченной прямоугольной области – одному из прямоугольников: ,,или к сумме некоторых из этих прямоугольников.

Если в каждом конечном прямоугольнике (при любыхb > a, d > c) существует в собственном смысле двойной интеграл от данной неотрицательной функции f(x, y) и простой интеграл по у, то

, , (19)

где

, (20)

в предположении, что повторный интеграл сходится.

Если функция f(x, y) меняет знак в бесконечной области D, формула (19) верна при дополнительном условии сходимости повторного интеграла от абсолютной величины данной функции: .

Двойные интегралы от неограниченных функций. Пусть функция f(x, y) задана в ограниченной области D, но оказывается неограниченной в окрестности некоторой точки М(х, у), а в любой части области D, не содержащей этой точки, она является интегрируемой в собственном смысле.

Выделим особую точку М, окружив ее кривой . Если удалить из области D окрестность, имеющую площадь и ограниченную кривой , получим область D^’, для которой существует двойной интеграл (17). Станем «стягивать» кривую  в точку М так, чтобы диаметр d области, ограниченной , стремился к нулю.

Несобственным интегралом от неограниченной функции f(x, y) по области D называется предел интеграла (17) при d  0:

. (21)

Если указанный предел существует и конечен, интеграл (21) называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда имеется несколько отдельных особых точек или указанные точки заполняют особую линию.

Замена переменных в несобственных двойных интегралах. В плоскости Оху и Ouv рассмотрим ограниченные области D и , связанные формулами преобразования ,или обратными им,, с соблюдением оговоренных ранее условий (см. формулы (12) и (13)).

Пусть в области D задана функция f(x, y), непрерывная всюду, за исключением конечного числа отдельных точек или кривых, где она обращается в бесконечность. В этом случае выполняется равенство

, (22)

если сходится один из этих интегралов (сходимость другого следует отсюда).

Формула (22) верна и для случая неограниченных областей. Замена переменных, наряду с переходом к повторному интегралу, является удобным средством для установления сходимости несобственных двойных интегралов.

Пример 20. Исследовать, сходится ли двойной интеграл , где областьD определена неравенствами х  1, ух  1.

Данный двойной интеграл является несобственным, поскольку область интегрирования – бесконечная часть первого квадрат, ограниченная слева прямой х = 1 и снизу гиперболой ху = 1 (рис. 35).

Рассмотрим конечную часть области D – область D^’, ограниченную линиями х = 1, х = b, ,y = d (рис. 36, область MDAB).В области D^’ двойной интеграл существует в собственном смысле (при любых b > 1, d > 1):

y

у

d

M

D

D

D^’

A

B

0 х

0 1 b x

Рис. 35

Рис. 36

Поскольку подынтегральная функция положительна во всей области D, то в соответствии с формулами (19) и (20)

.

Следовательно, данный несобственный двойной интеграл сходится и равен единице.

Пример 21. Исследовать, сходится ли , гдеD – круг .

Данный двойной интеграл является несобственным, поскольку подынтегральная функция не ограничена в данной области (на границе области, т.е. на окружности , она обращается в бесконечность).

Для решения вопроса о сходимости интеграла перейдем к полярным координатам по формулам х =  cos, y =  sin:

, ;

пределы интегрирования:  = 0,  = 2, ,.

Формула (22) в данном случае примет вид

.

Так как

,

то ,

т.е. двойной несобственный интеграл сходится и равен 2R.

Пример 22. Исследовать, сходится ли , где областьD определяется неравенством .

Подынтегральная функция определена во всех точках, находящихся внутри эллипса . На границе области она обращается в бесконечность. Для выяснения вопроса сходимости интеграла перейдем к новым координатам по формулам:,или

, (0   1, 0    2).

Получаем

Итак, данный интеграл сходится.

Пример 23. Исследовать, сходится ли , гдеD – треугольник, ограниченный прямыми у = 0, у = х, х = .

Введем новые переменные по формулам:

, . (23)

Преобразование (23) переводит треугольник D плоскости Оху (рис. 37) в треугольник  плоскости Ouv, ограниченный прямыми u = v, u + v = 2, v = 0 (рис. 38).

у

v









D

0  х

0  2 u

Рис. 37

Рис. 38

Так как ,, то

,

где  - треугольник, ограниченный прямыми u = v, u = , v = 0.

Следовательно, ,

т.е. интеграл сходится.

Замечание. Здесь принято во внимание, что .

Этот интеграл (называемый интегралом Эйлера) вычислен с помощью замены переменной. Полагая x = 2t, получаем

.

Так как , то

.

Последний интеграл с помощью подстановки приводится к виду, поэтому

.

Пример 24. Исследовать, сходится ли , гдеD определена неравенствами х  0, у  0.

Рассмотрим квадрант круга радиуса R с центром в начале координат, обозначим его через K_R. Вводя полярные координаты по формулам ,, получаем

Так как sin R² при R  предела не имеет, данный интеграл расходится.