Примеры для самостоятельной работы
Вычислить следующие повторные интегралы:
1. ;2. ;3. ;4. .
Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам d:
5. ;6. ;
7. ; 8. ;
9. .
Вычислить повторные интегралы, написать уравнения линий, ограничивающих область интегрирования соответствующих двойных интегралов:
10. ;11. ;12. ;13. .
Расставить пределы интегрирования в повторных интегралах, к которым сводятся двойные интегралы от функцииf(x, y), непрерывной в указанных областях D:
14. D ограничена линиями у2 = х, х = 1;
15. D ограничена линиями у = х2 + х, х – у + 3 = 0;
16. D ограничена линиями у = х, у = х, х2 + у2 = 8 (х 0, у 0);
17. D ограничена линиями х2 + у2 = 4, у = 2х – х2, х = 0 (х 0, у 0).
Записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения, предварительно изобразив на чертеже области интегрирования:
18. ;19. ;
20. ;21. ;
22. .
Переменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах, предварительно изобразив на чертеже области интегрирования:
23. ;24. ;25. ;
26. ;27. ;28. .
Вычислить двойные интегралы:
29. ,D ограничена линиями х2 + у2 = 4, х + у –2 = 0;
30. ,D ограничена линиями ху = 1, у – х = 0, х = 2;
31. ,D ограничена линиями у = ех, х = 0, у = 2.
1.2. Замена переменных в двойных интегралах
Задача вычисления двойного интеграла зачастую связана с необходимостью замены переменных. Рассмотрим двойные интегралы в полярных координатах.
Криволинейные координаты на плоскости. Рассмотрим непрерывно дифференцируемые функции u и v прямоугольных декартовых координат х и у:
u = (x, y), v = (x, y). (12)
Предположим, что уравнения (12) однозначно разрешимы относительно х и у:
x = 1(u, v), y = 1(u, v), (13)
где 1(u, v), 1(u, v) – непрерывно дифференцируемые функции u и v.
Придавая поочередно u и v различные (возможные для них) постоянные значения, получаем два семейства линий на плоскости (рис. 21); эти линии называются координатными линиями. Положение точки М на плоскости определяется парой чисел (х, у) или парой чисел u, v, где u и v выражены формулами (12). Пара чисел u, v называется криволинейными координатами точки М на плоскости.
у
v
= const
М
u
=
const
0
х
Рис. 21
у
=
const
у
x
= const
y
= const
r
= const
х
0
х
Рис. 22
Рис. 23
Замена переменных в двойных интегралах. Если непрерывно дифференцируемые функции (13) устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области D плоскости Оху и точками области плоскости Ouv (рис. 24), то
y
v
(u,
v)
(х,
у) D
0
x
0
u
Рис. 24
где J(u, v) – функциональный определитель Якоби (или якобиан),
.
Замену переменных в двойном интеграле рекомендуется производить так, чтобы упрощались подынтегральное выражение и область интегрирования.
Двойные интегралы в полярных координатах. В случае перехода к полярным координатам x = cos, y = sin формула (14) принимает вид
, (15)
так как модуль функционального определителя в этом случае
.
Если область (рис. 25 – 27) ограничена лучами, образующими с полярной осью углы 1 = , 2 =, и кривыми ,, то
. (16)
Если область охватывает начало координат, то
.
2()
В1
В2
2() В В
=()
1()
А2
А1
1() А А
0
0
0
Рис. 26
Рис. 27
Рис. 25
Пример 13. Вычислить , где область - круговой сектор, ограниченный линиями = 0, , = 2 (рис. 28).
у В
Е
у
D
0
1 2 х
А 0
С х
Рис. 28
Рис. 29
Применим формулу (16). В данном случае ,,1() = 0, 2() = 2. Указанный круговой сектор – частный случай области , точки А1 и В1 совпадают с точкой О (рис. 27).
Пример 14. Вычислить , где область ограничена окружностями = а, = 2а cos и лежит вне первой окружности (рис. 29, область АВС).
Область имеет вид, изображенный на рис. 26 (частный случай области А1А2В1В2, изображенной на рис. 25, точки А1 и А2 совпадают, точки В1 и В2 – также). Найдем пределы интегрирования. Выясним, в каких границах меняется угол , для чего определим координаты точек А и В, являющихся точками пересечения данных окружностей. Решая систему уравнений = а, = 2а cos , находим а = 2а cos , откуда ,,. Итак,,.
При фиксированном из указанного промежутка будет меняться от 1 = а до 2 = 2а cos (луч ОЕ, соответствующий данному значению , пересекает первую окружность в точке D, вторую – в точке Е). Следовательно, 1() = а, 2() = 2а cos .
Таким образом, по формуле (16) получаем
Пример 15. В двойном интеграле , гдеD ограничена окружностью х2 + у2 = 1 и прямой х + у = 1, перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке.
Область интегрирования является сегментом круга х2 + у2 = 1, отсекаемым прямой х + у = 1 (рис. 30). В прямоугольных декартовых координатах данный двойной интеграл сводится к повторному
.
у
у
у
= х
1 В
А
А D
0
В
E
С
0
О
х
0
1
х
(х2+у2)2=2а2ху
Рис. 30
Рис. 31
Перейдем к полярным координатам х = cos, у = sin. Напишем уравнения линий, ограничивающих область D, в полярных координатах. Уравнение окружности х2 + у2 = 1 перейдет в уравнение = 1, уравнение прямой х + у = 1 примет вид (cos + sin) = 1 или , т.е.. Угол меняется от 0 до . При фиксированном значении угла соответствующий лучОВ пересекает границы области в точках А и В (сначала в точке А, принадлежащей прямой, затем в точке В, принадлежащей окружности), т.е. меняется от до.
Следовательно, .
Поменяем порядок интегрирования в данном интеграле. Пределы интегрирования можно установить следующим образом. Зададим такое значение = 0, чтобы окружность радиуса 0 проходила внутри области D. Она пересечет хорду сегмента в точках С и D, значения координаты для которых определяются из уравнения хорды . Полагая в этом уравнении = 0, получаем
, .
Эти значения и являются пределами переменной во внутреннем интеграле, причем индекс при можно опустить. Во внешнем интеграле будет меняться от наименьшего значения , равного длине отрезкаОЕ, до = 1.
Таким образом,
.
Пример 16. Перейдя к полярным координатам, вычислить , где областьD ограничена линиями у = х, и дугой окружностих2 + у2 = 8, лежащей в первой четверти.
Применим формулы (15), (16), предварительно выразив уравнения границ области и подынтегральную функцию в полярных координатах. Так как х = cos, у = sin, то уравнения границ области будут:
;
;
.
Подынтегральная функция ; вместоdxdy нужно подставить dd:
Замечание 8. Вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах сопряжено с гораздо большим объемом вычислительной работы.
Пример 17. Перейдя к полярным координатам, вычислить , где областьD ограничена линиями ,(x > 0, y < x).
Область интегрирования ограничена дугой лемнискаты Бернулли и отрезком прямой у = х (см. рис. 31, область ОАВ).
Границы области в полярных координатах х = cos, у = sin:
, ,tg = 1;
пределы интегрирования: ;
подынтегральная функция .
По формуле (16) получаем
.
Вычислим внутренний интеграл:
Так как , то
,
поэтому
Следовательно, .
Пример 18. В двойном интеграле , где областьD ограничена линиями х = 0, у = 0, х + у = 2, перейти к новым переменным u, v по формулам:
, . (17)
Найдем функции 1(u, v), 1(u, v), определенные формулами (13), т.е. выразим из уравнений (17) х и у через u, v:
, . (18)
Область D плоскости Оху при преобразовании (18) перейдет в некоторую область плоскости Ouv, границы которой будут: u = 0, u = 2, v = 0, v = 2. Эти равенства получены из уравнений х = 0, у = 0, х + у = 2 и формул (18). Действительно, если х = 0, то u(2 – v) = 0, откуда u = 0, v = 2; если у = 0, то u = 0, v = 0; если х + у = 2, то u = x + y = 2, u = 2. Область в плоскости Ouv является прямоугольником (рис. 32).
у
v
2
2
D
1
1
0
1 2 х
0
1 2 u
Рис. 32
Найдем выражение для якобиана преобразования (18). Так как
, ,,,
то .
Таким образом, в соответствии с формулой (14)
,
где .
Пример 19. В двойном интеграле , где областьD – квадрат, ограниченный прямыми х + у = 1, х - у = 1, х + у = 3, х - у = -1 (рис. 33).
у
3
х
- у = -1
v
1
х
+ у = 1
х
- у = 1
D
1
0
1 3 u
х+
у =3
0
1 3 х
-1
Рис. 33
Рис. 34
Полагаем x+ y = u, x – y = v, откуда ,. Тогда якобиан преобразования
, т.е. .
Следовательно, . Так как область также является квадратом (рис. 34), то